exo manipulations élémentaires de sommes

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exo manipulations élémentaires de sommes

Message par Aurelio » 10 oct. 2018 00:14

Bonjour,

Dans l'exercice 4.1 du poly MPSI de M. Troesch, j'ai un doute sur la notation (énumérative) 3 petits points à l'intérieur de la somme :
$ \forall\ n\in\mathbb{N^{*}},\forall\ k \in\mathbb{N^{*}},\\ S_{k}(n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i(i+1)...(i+k-1). $
Avec la notation $ S_{k}(n) $ on se retrouve avec une "seconde variable", et donc un i allant jusqu'à n mais dépendant du terme avec k. Bref, si je calcule $ S_1(n) $: le dernier terme serait i+k-1 donc i+1-1 = i. Le premier terme étant égal au dernier terme, dois-je m'arrêter là ?: $ S_1(n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i = \frac{1}{2}n(n+1) $
Ou plutôt:
pour i = 1, on obtient 1(1+1-1) = 1
pour i = 2, on obtient 2(2+1-1) = 4
pour i = 3, on obtient 3(3+1-1) = 9
pour i = n, on obtient n(n+1-1), donc
$ S_1(n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i(i+1) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
Puis:
$ S_2(n) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) $
$ S_3(n) = \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3) $

Si quelqu'un pouvait dans un premier temps m'orienter sur la manière dont se comportent les deux indices k et i dans la notation énumérative, cela me permettrait d'avancer un peu. Car je vois bien avec le corrigé (pas assez détaillé !) que je fais fausse route et qu'il s'agit plutôt de factorielles...

Merci!

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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par Luckyos » 10 oct. 2018 00:43

Salut !

De manière générale $ a_1...a_n $ vaut $ \prod _{k=1}^{n}a_k $ si $ n \geq 2 $ et $ a_1 $ sinon.

Edit : En fait c'est peut-être pas ton problème, ici implicitement $ i(i+1)...(i+k-1)= \prod _ {j=1}^{j=k} (i+j-1) $, donc si $ n=1 $ il n'y a que le facteur $ i $.
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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par bullquies » 10 oct. 2018 00:59

oui il n'y a que i

par ailleurs les mathématiques rigoureuses et les petits points font 2, tu as raison de montrer que c'est confus.

Tiens je t'en donne une autre, devine ce qu'il y a dans les petits points : pi+e = 5.85... Tu en as pour une éternité.
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par zede » 10 oct. 2018 06:24

bullquies a écrit :
10 oct. 2018 00:59
oui il n'y a que i

par ailleurs les mathématiques rigoureuses et les petits points font 2, tu as raison de montrer que c'est confus.

Tiens je t'en donne une autre, devine ce qu'il y a dans les petits points : pi+e = 5.85... Tu en as pour une éternité.


Oui, enfin, M.troesch a plutôt voulu éclairer que perdre, avec ces points de suspension, on ne peut guère le lui reprocher, surtout dans ce contexte-ci - au contraire !

: )

Sinon, comment as-tu compris la question 2 de cet exercice ? ^^



EDIT: à propos des factorielles:

i(i+1)...(i+k-1) = 1.2 ... (i-1)i(i+1)...(i+k-1) / 1.2...(i-1)

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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par btsix » 10 oct. 2018 15:38

bullquies a écrit :
10 oct. 2018 00:59
oui il n'y a que i

par ailleurs les mathématiques rigoureuses et les petits points font 2, tu as raison de montrer que c'est confus.

Tiens je t'en donne une autre, devine ce qu'il y a dans les petits points : pi+e = 5.85... Tu en as pour une éternité.
Plus grave encore :
https://imgur.com/a/0T6EpDU

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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par siro » 10 oct. 2018 16:28

Moralité, astuce personnelle : TOUJOURS écrire l'avant-dernier terme dans les sommes à points de suspension, ça limite pas mal les erreurs à la con de ce style, on se rend compte de suite de l'embrouille. (Voire l'avant-avant-dernier.)
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par Aurelio » 10 oct. 2018 17:08

Merci à tous. En fait, c'est assez clair et même joli, S1, S2 et S3 sont bien symétriques, et on a bien k facteur(s) dans i terme(s).

La forme générale $ S_k(n) = \frac{n!}{k \times(n-k)!} $ me reste encore inaccessible. La question 2 de l'exercice indique de chercher $ S_{k+1}(n) - S_{k+1}(n) $ !? pour la trouver... Est-ce que quelqu'un sait interpréter cette énoncé obscur ? Même avec le corrigé qui parle d'un changement d'indice i'=i-1 dans le second facteur, cela reste cryptique !

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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par zede » 10 oct. 2018 17:15

Aurelio a écrit :
10 oct. 2018 17:08
Merci à tous. En fait, c'est assez clair et même joli, S1, S2 et S3 sont bien symétriques, et on a bien k facteur(s) dans i terme(s).

La forme générale $ S_k(n) = \frac{n!}{k \times(n-k)!} $ me reste encore inaccessible. La question 2 de l'exercice indique de chercher $ S_{k+1}(n) - S_{k+1}(n) $ !? pour la trouver... Est-ce que quelqu'un sait interpréter cette énoncé obscur ? Même avec le corrigé qui parle d'un changement d'indice i'=i-1 dans le second facteur, cela reste cryptique !
Effectivement, l'énoncé contient une coquille.

Maintenant, le plus intéressant, c'est justement de trouver ce qui était demandé.
$ S_{k+1}(n) - S_{k}(n) $ ? autre chose ?
=> Il faut essayer celui-là et voir si ça te donne quelque chose.
=> Sinon, essayer en changeant plutôt un des indices n.

Note bien que si la première hypothèse me semble la plus probable, je n'ai pas essayé: il faut le faire par toi-même dans un premier temps.

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Re: exo manipulations élémentaires de sommes

Message par JeanN » 10 oct. 2018 21:15

Aurelio a écrit :
10 oct. 2018 17:08
Merci à tous. En fait, c'est assez clair et même joli, S1, S2 et S3 sont bien symétriques, et on a bien k facteur(s) dans i terme(s).

La forme générale $ S_k(n) = \frac{n!}{k \times(n-k)!} $ me reste encore inaccessible. La question 2 de l'exercice indique de chercher $ S_{k+1}(n) - S_{k+1}(n) $ !? pour la trouver... Est-ce que quelqu'un sait interpréter cette énoncé obscur ? Même avec le corrigé qui parle d'un changement d'indice i'=i-1 dans le second facteur, cela reste cryptique !

Réécris la somme comme une somme de binomiaux (à un coefficient multiplicatif près) puis utilise la formule d'addition de Pascal pour transformer le terme général et faire apparaitre une somme télescopique.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

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