Bonjour,
J'aurais besoin d'une petite aide mathématique pour mieux comprendre la situation.
J'ai représenté sur le schéma joint un ensemble de trois bielles articulées.
Les points de liaison avec le bati sont cerclés (A et C)
L'idée est d'utiliser la bielle L1 (CD) pour contrôler la bielle L2 (AB) par l'intermédiaire de la bielle LB.
On a donc comme donnée d'entrée alpha1 et on cherche alpha2, alphaLB étant un bonus.
Pour calculer ça, on calcule les coordonnées du point D, du point B, on a alors le choix entre dire "longueur BD = constante = LB", ou dire "les coordonnées de B calculées à partir de A et L2 sont égales aux coordonnées de B calculées à partir de C, L1 et LB".
Je vous passe les détails cinématiques du calcul, ça revient quasi au même et on se retrouve avec une équation du type :
A cosx+B sinx + C = 0 (avec x=alpha1)
Partant de là, deux solutions possibles.
Mon ami décide d'effectuer le changement de variable x = tan(t/2) pour obtenir un polynome du second degré, qu'il résout avec discriminant.
Moi, je décide de me rappeler de mon premier cours de prépa et de dire que l'équation est :
Rcos(x-alpha) + C = 0 (avec R = sqrt(A²+B²) et alpha = atan(B/A))
Dans son cas, il faut décider de la bonne solution entre les deux : + ou -
Dans mon cas, il faut décider de la bonne solution de cos(truc)=bidule, et là encore il y en a deux.
Est-ce que nos méthodes sont strictement équivalentes ?
Quelle est la meilleure manière de décider entre les deux solutions ?
Sur mon image, on dirait que alpha1 et alpha2 ne peuvent être que entre Pi et 2Pi
Que se passe-t-il si alpha1 et alpha2 sont en réalité libres partout entre 0 et 2Pi ?
Merci
A cosx+B sinx + C = 0
A cosx+B sinx + C = 0
Toujours en train de calculer des matrices de rotation
Re: A cosx+B sinx + C = 0
A priori il y a jusqu'à deux solutions à ce type d'équation, le plus simple est de passer $ A\cos = -C-B\sin $ au carré et de résoudre pour $ \sin $.
On obtient deux solutions avec le $ \cos $ correspondant, avant de trouver l'angle il faut vérifier si $ \cos $ et $ \sin $ sont bien entre -1 et 1 sinon ce n'est pas une solution (typiquement A = B = 1 et C = 4)
Si il y a des valeurs nulles dans A, B ou C alors c'est plus simple avec arccos, arcsin ou atan2.
On obtient deux solutions avec le $ \cos $ correspondant, avant de trouver l'angle il faut vérifier si $ \cos $ et $ \sin $ sont bien entre -1 et 1 sinon ce n'est pas une solution (typiquement A = B = 1 et C = 4)
Si il y a des valeurs nulles dans A, B ou C alors c'est plus simple avec arccos, arcsin ou atan2.
Re: A cosx+B sinx + C = 0
@Jay Olsen : où est l'image promise ?
Ton mécanisme articulé semble être, d'après ta description, un classique 4-barres. Il y a pour ton problème deux solutions souvent appelées "coude haut" et "coude bas" - quand il y a des solutions (il peut ne pas y en avoir, ou il peut aussi y avoir une singularité avec solution double, quand les deux barres AB et BD sont alignées.
Les deux façons de calculer aboutissent bien sûr au même résultat, modulo quelques petites précautions :
- la paramétrisation au moyen de la tangente de l'angle moitié oublie l'angle plat
- si tu fais $ R=\sqrt{A^2+ B^2} $ et $ \alpha=\arctan(B/A) $ (tiens, tes notations ne sont pas super car il y a déjà un A et un B dans l'histoire), tu ne retrouves $ A=R\cos(\alpha) $ que si $ A $ est positif ! Il faut utiliser la fonction de deux variables notée habituellement atan2 si on ne veut pas introduire une erreur.
Ton mécanisme articulé semble être, d'après ta description, un classique 4-barres. Il y a pour ton problème deux solutions souvent appelées "coude haut" et "coude bas" - quand il y a des solutions (il peut ne pas y en avoir, ou il peut aussi y avoir une singularité avec solution double, quand les deux barres AB et BD sont alignées.
Les deux façons de calculer aboutissent bien sûr au même résultat, modulo quelques petites précautions :
- la paramétrisation au moyen de la tangente de l'angle moitié oublie l'angle plat
- si tu fais $ R=\sqrt{A^2+ B^2} $ et $ \alpha=\arctan(B/A) $ (tiens, tes notations ne sont pas super car il y a déjà un A et un B dans l'histoire), tu ne retrouves $ A=R\cos(\alpha) $ que si $ A $ est positif ! Il faut utiliser la fonction de deux variables notée habituellement atan2 si on ne veut pas introduire une erreur.
Re: A cosx+B sinx + C = 0
Voilà l'image.
https://scontent-mrs1-1.xx.fbcdn.net/v/ ... e=5C457056
Veux-tu dire qu'il faut utiliser atan2 pour trouver le alpha ?
Alpha = atan2(B,A) ?
J'ai l'impression qu'il y a souvent deux solutions, ce qui se comprend facilement en traçant deux cercles : on a généralement deux points.
A partir de là il n'est pas évident de contraindre la bonne solution dans tous les cas. La bielle de gauche peut se retrouver vers le haut ou vers le bas..
https://scontent-mrs1-1.xx.fbcdn.net/v/ ... e=5C457056
Veux-tu dire qu'il faut utiliser atan2 pour trouver le alpha ?
Alpha = atan2(B,A) ?
J'ai l'impression qu'il y a souvent deux solutions, ce qui se comprend facilement en traçant deux cercles : on a généralement deux points.
A partir de là il n'est pas évident de contraindre la bonne solution dans tous les cas. La bielle de gauche peut se retrouver vers le haut ou vers le bas..
Toujours en train de calculer des matrices de rotation
Re: A cosx+B sinx + C = 0
1) Oui, il faut utiliser atan2 sous peine de se tromper. Attention, l'ordre des arguments n'est semble-t-il pas le même pour tous les logiciels.
2) C'est quoi, la "bonne" solution ???
Il y a toujours deux solutions (éventuellement confondues, dans le cas de la singularité), ou aucune.
Quand il y a singularité, on passe d'une solution à l'autre en traversant une singularité. En l'absence de singularité, on ne peut pas passer d'une solution à l'autre sans démonter le mécanisme.
2) C'est quoi, la "bonne" solution ???
Il y a toujours deux solutions (éventuellement confondues, dans le cas de la singularité), ou aucune.
Quand il y a singularité, on passe d'une solution à l'autre en traversant une singularité. En l'absence de singularité, on ne peut pas passer d'une solution à l'autre sans démonter le mécanisme.
Re: A cosx+B sinx + C = 0
La bonne solution c'est celle qui correspond à la situation initiale.
L'étape d'après c'est de trouver pour chaque géométrie l'angle mini et maxi possible.
Avec al kashi ça se trouve assez bien mais on n'est jamais sûr d'avoir le min ou le max...
L'étape d'après c'est de trouver pour chaque géométrie l'angle mini et maxi possible.
Avec al kashi ça se trouve assez bien mais on n'est jamais sûr d'avoir le min ou le max...
Toujours en train de calculer des matrices de rotation
Re: A cosx+B sinx + C = 0
Qu'est-ce que ça veut dire ? La situation initiale de quoi ? Que veut dire "correspond ?
Qu'est-ce que ça veut dire ? L'angle de quoi ? Possible pour quoi ?
Re: A cosx+B sinx + C = 0
On fait un problème de physique à la base hein.
Concernant la fonction atan2 je crois que je n'en ai pas besoin car par définition dans mon truc j'ai toujours ma bielle 1 à droite de la bielle 2 donc dans les x positifs.
Par contre effectivement si on met la bielle 1 à gauche, dans les x négatifs, ça ne marche plus du tout donc ce n'est pas acceptable, par souci de généralité mieux vaut implémenter la fonction atan2
L'idée serait de trouver l'angle mini ou maxi possible en entrée sur la bielle 1, qui permette d'avoir un contact continu entre les trois bielles.
Mathématiquement ça veut dire trouver le segment des alpha1 pour lesquels une solution à l'équation existe.
Pour ça j'utilise al kashi, mais avec tous ces + et ces - qui trainent je suis perdu.
J'ai une formule basée sur al kashi, un triangle qui a toujours pour côtés OC (longueur C), L1 et pour troisième côté soit LB+L2 soit LB-L2
Selon les cas, il faut mettre LB+L2 et LB-L2 dans la formule (respectivement pour le min et le max), ou bien mettre LB-L2 à la fois pour le min et le max.
Toujours en train de calculer des matrices de rotation
Re: A cosx+B sinx + C = 0
Tu n'as pas répondu à ma première question. Je repose :
La situation initiale de quoi ? Que veut dire "correspond" ?
Par rapport à ta réponse sur atan2: qui sont les A et B de ta formule ? Quel rapport fais-tu entre le fait que ce A soit positif et le fait que la bielle 1 soit à droite de la bielle 2 ?
Enfin, il se peut très bien qu'il y ait deux solutions pour tout $ \alpha_1 $. Ça dépend des paramètres géométriques du 4-barres.
Dans le dessin ci-dessus, l'anneau bleu est la zone où peut se promener le point D contraint par les barres AB et BD. Pour chaque point D à l'intérieur de cet anneau, il y a deux positions possibles pour B.
La situation initiale de quoi ? Que veut dire "correspond" ?
Par rapport à ta réponse sur atan2: qui sont les A et B de ta formule ? Quel rapport fais-tu entre le fait que ce A soit positif et le fait que la bielle 1 soit à droite de la bielle 2 ?
Enfin, il se peut très bien qu'il y ait deux solutions pour tout $ \alpha_1 $. Ça dépend des paramètres géométriques du 4-barres.
Dans le dessin ci-dessus, l'anneau bleu est la zone où peut se promener le point D contraint par les barres AB et BD. Pour chaque point D à l'intérieur de cet anneau, il y a deux positions possibles pour B.
Re: A cosx+B sinx + C = 0
"Correspond" j'imagine que c'est pour parler de continuité, autrement dit parmi les deux solutions on prend celle qui est la plus proche de la configuration courante. En robotique parallèle on parle de modes d'assemblage, ici le signe de $ \alpha_1 $ suffit à les discriminer.