Exercice sur la borne supérieure

[thomas.j]

Bonjour,

J'ai un exercice :
Soit A un ensemble non vide majoré dans R. Montrer que pour tout réel a, sup(a+x tq x appartient à A) = a + sup(A)

Je suis en début de sup donc on a pas vu la définition avec les quantificateurs
On définit le sup M d'un ensemble A comme, M est un majorant de A et s'il existe x appartenant à A strictement inférieur à M, alors il existe x' appartenant à A strictement supérieur à x

Je vois pas comment faire

Je vous remercie par avance

[GaBuZoMeu]

Je définirais plutôt la borne supérieure de A comme le plus petit des majorants de A, s'il existe.

On peut remarquer que m est un majorant de l'ensemble a+A (l'ensemble des a+x pour x dans A) si et seulement si m-a est un majorant de A

[thomas.j]

Merci pour ta réponse.

Ce que tu dis en fait je vois, mais c'est que moi l'assertion me parait évidente. Comment vous rédigeriez la réponse ?

Partir de la définition du sup de a+A et raisonner par équivalence jusqu'à obtenir la définition du sup de A qui est M-a ? J'aime pas les exercices sur le sup parce qu'avec les mains je comprends mais je sais pas rédiger

[JeanN]

Merci pour ta réponse.

Ce que tu dis en fait je vois, mais c'est que moi l'assertion me parait évidente. Comment vous rédigeriez la réponse ?

Partir de la définition du sup de a+A et raisonner par équivalence jusqu'à obtenir la définition du sup de A qui est M-a ? J'aime pas les exercices sur le sup parce qu'avec les mains je comprends mais je sais pas rédiger

Surtout pas de raisonnement par équivalence
Montre les deux points de la définition l'un après l'autre en posant tout ce qui va bien. C'est un exercice assez formel d'application des définitions mais il n'est pas toujours évident de le rédiger convenablement.

[GaBuZoMeu]

Je ferais comme ci-dessous, mais je le cache pour que tu ne regardes qu'après coup. Je raisonne par équivalence, c'est mal paraît-il.

SPOILER:

m est un majorant de A ssi pour tout x de A, x est inférieur ou égal à m, ssi pour tout x de A, x + a est inférieur ou égal à m +a, ssi m+a est un majorant de A+a.
sup(A) est un majorant de a, donc sup(A)+a est un majorant de A+a.
Soi p un majorant de A+a. Alors p-a est un majorant de A, donc sup(A) est inférieur ou égal à p-a, donc sup(A)+a est inférieur ou égal à p.
En conclusion, sup(A)+a est le plus petit majorant de A+a, autrement dit la borne supérieure de A+a.

[JeanN]

Je raisonne par équivalence, c'est mal paraît-il.

C'est une allusion à mon message précédent ?
Je suggérais juste à l'auteur de ne pas démontrer sup(a+A) = a + sup(A) par une chaine d'équivalences mais plutôt en vérifiant les deux points de sa définition.
Par ailleurs, son prof ne lui a manifestement pas donné la définition usuelle pour l'instant donc autant qu'il s'exerce à vérifier formellement la définition qu'il a sous la main, non ?

[matmeca_mcf1]

Sans les quantificateurs sur $ \forall\varepsilon>0 $. En utilisant la propriété énoncé par GaBuZoMeu, à savoir, la borne supérieur est le plus petit majorant.

SPOILER:

Montrons que $ \sup_{x\in a+A}(x)\leq \sup_{y\in A}(y)+a $
Soit $ x $ dans $ a+A $, on a $ x-a\in A $ donc
$$
x-a\leq\sup_{y\in A}(y)\\
x\leq\sup_{y\in A}(y)+a
$$
Comme c'est vrai pour tout $ x $ dans $ a+A $,
$ \sup_{y\in A}(y)+a $ est un majorant de $ A+a $. Donc,
$$ \sup_{x\in a+A}(x)\leq\sup_{y\in A}(y)+a. $$

On applique ce résultat en remplaçant $ A $ par $ a+A $ et $ a $ par $ -a $. Et en observant que
$ (a+A)-a=A $, on obtient aussi
$$
\sup_{x\in A}(x)=\sup_{x\in (a+A)-a}(x)\leq\sup_{y\in a+A}(y)-a
$$
Soit
$$
\sup_{x\in A}(x)+a\leq \sup_{y\in a+A}(y).
$$
On intervertit les variables $ x $ et $ y $. On combine les deux inégalités et on obtient l'égalité souhaitée.

La rédaction en prépa suit des règles assez strictes. Je ne garantis pas de les avoir suivies.