On peut même faire mieux, en supposant $ f $ et $ g $ uniquement dérivable à droite.
L'idée première est d'essayer de montrer que si l'inégalité $ \lVert f(s)-f(a)\rVert \leq g(s)-g(a) $ est vraie pour tout $ s $ dans $ [a,\hat{t}[ $ avec $ \hat{t}<b $ alors elle est vraie sur $ [a,\hat{t}+\delta] $ avec un $ \delta>0 $. Cependant, cela ne fonctionne pas. Mais si on essaie de le démontrer quand même, on va voir pourquoi cela ne fonctionne pas. Pour que cela fonctionne, on aurait besoin de montrer que
$$
\exists\delta>0,\forall h, 0<h<\delta\implies \lVert f(\hat{t}+h)-f(\hat{t})\rVert\leq g(\hat{t}+h)-g(t)
$$
Cela permettrait de conclure en utilisant l'inégalité triangulaire. Mais cette propriété n'est pas vraie en général. Donc, il faut un peu modifier le programme. La propriété vraie est
$$
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall h, 0<h<\delta\implies f(\hat{t}+h)-f(\hat{t})\rVert\leq g(\hat{t}+h)-g(t)+\varepsilon h
$$
On en retire l'idée qu'on souhaite d'abord démontrer que pour tout $ \varepsilon>0 $,
$$
\lVert f(b)-f(a)\rVert \leq g(b)-g(a)+\varepsilon(b-a)
$$
Et pour cela, on pose
$$
\hat{t}=\sup\{t\in[a,b]:\forall s\in[a,t], \lVert f(s)-f(a)\rVert \leq g(s)-g(a)+\varepsilon(s-a)\}.
$$
On montre alors que la borne supérieure est atteinte puis qu'elle vaut $ b $.