Démonstrations exigibles

[JeanN]

Convergence dominée est un bon exemple

Oui et ça tombe souvent aux oraux en plus !

La démonstration du théorème de convergence dominée est indiquée comme étant hors-programme en prépa. Il la demande vraiment aux oraux ?

Non, jamais.

[oty20]

Il ne faut pas apprendre les démonstrations par coeur. Il faut comprendre l'idée derrière la démo des théorèmes. Il faut comprendre les maths derrière. Ensuite, cela permet de retrouver les démos en n'utilisant que très peu sa mémoire. J'aurais pu vous montrer comment faire sur un exemple si vous m'en aviez donné un.

Oui tout à fait, un bon exemple serait peut être le théorème d'Alembert.

Et un théorème que j'aime bien :

Soit $ f:[a,b] \to E $ dérivable, E ev de dim finie ,
$ g:[a,b] \to R $ dérivable.

On suppose que pour tout $ t \in [a,b] $, $ ||f'(t)|| \leq g'(t) $

Alors $ ||f(b)-f(a)|| \leq g(b)-g(a) $

[matmeca_mcf1]

Oui tout à fait, un bon exemple serait peut être le théorème d'Alembert.

Pour d'Alembert, il y a beaucoup de démonstrations. De mémoire, j'en ai vu au moins trois:

• Une avec les outils de prépas: minimum sur un compact d'une fonction continue est atteint.
• Une avec le théorème de Liouville (fonctions holomorphes). C'est la plus rapide si on connait la théorie des fonctions holomorphes.
• Une faisant intervenir la géométrie différentielle. Exercice classique dans les feuilles de TD des cours de géométrie différentielle.

Seule la première me semble abordable avec les outils enseignés en prépa. L'idée de base est qu'un zéro d'une fonction $ f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} $ est aussi un minimum pour
$$
\psi\colon \mathbb{C}\to\mathbb{R}^+\\
z\mapsto\lvert f(z)\rvert
$$

L'idée de la preuve est

1. Montrer que le module d'un polynôme atteint un minimum sur $ \mathbb{C} $.
2. Que le minimum local du module d'un polynôme non constant est un zéro du polynôme.

Et pour le 1), on peut démontrer au préalable le résultat suivant

Soit $ g\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{R} $ continue sur $ \mathbb{R}^d $ telle que
$$
g(\vec{x})\xrightarrow[\lVert \vec{x}\rVert\to+\infty]{}+\infty
$$
Alors, $ g $ atteint son minimum sur $ \mathbb{R}^d $. Le mieux pour comprendre comment démontrer ce résultat est de faire un dessin dans le cas $ d=1 $.

[BobbyJoe]

Il existe une preuve (en utilisant le formalisme des intégrales dépendant d'un paramètre) accessible en prépa... qui simule essentiellement la preuve classique (Th de Liouville) par les fonctions holomorphes : la seule chose utilisée est la relation de Cauchy-Riemann, en polaire.

[saysws]

Elle est tombé en PC aux mines cette année d'ailleurs, et en MP à Centrale il me semble.

[matmeca_mcf1]

Et un théorème que j'aime bien :

Soit $ f:[a,b] \to E $ dérivable, E ev de dim finie ,
$ g:[a,b] \to R $ dérivable.

On suppose que pour tout $ t \in [a,b] $, $ \lVert f'(t)\rVert \leq g'(t) $

Alors $ \lVert f(b)-f(a)\rVert \leq g(b)-g(a) $

On peut même faire mieux, en supposant $ f $ et $ g $ uniquement dérivable à droite.

L'idée première est d'essayer de montrer que si l'inégalité $ \lVert f(s)-f(a)\rVert \leq g(s)-g(a) $ est vraie pour tout $ s $ dans $ [a,\hat{t}[ $ avec $ \hat{t}<b $ alors elle est vraie sur $ [a,\hat{t}+\delta] $ avec un $ \delta>0 $. Cependant, cela ne fonctionne pas. Mais si on essaie de le démontrer quand même, on va voir pourquoi cela ne fonctionne pas. Pour que cela fonctionne, on aurait besoin de montrer que
$$
\exists\delta>0,\forall h, 0<h<\delta\implies \lVert f(\hat{t}+h)-f(\hat{t})\rVert\leq g(\hat{t}+h)-g(t)
$$
Cela permettrait de conclure en utilisant l'inégalité triangulaire. Mais cette propriété n'est pas vraie en général. Donc, il faut un peu modifier le programme. La propriété vraie est
$$
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall h, 0<h<\delta\implies f(\hat{t}+h)-f(\hat{t})\rVert\leq g(\hat{t}+h)-g(t)+\varepsilon h
$$

On en retire l'idée qu'on souhaite d'abord démontrer que pour tout $ \varepsilon>0 $,
$$
\lVert f(b)-f(a)\rVert \leq g(b)-g(a)+\varepsilon(b-a)
$$

Et pour cela, on pose
$$
\hat{t}=\sup\{t\in[a,b]:\forall s\in[a,t], \lVert f(s)-f(a)\rVert \leq g(s)-g(a)+\varepsilon(s-a)\}.
$$
On montre alors que la borne supérieure est atteinte puis qu'elle vaut $ b $.

[oty20]

La propriété vraie est
$$
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall h, 0<h<\delta\implies f(\hat{t}+h)-f(\hat{t})\rVert\leq g(\hat{t}+h)-g(t)+\varepsilon h
$$

Magnifique quelle est la motivation derrière cette modification de proposition, on dirait que vous aviez rendu la propriété local, mais je ne pense pas que le $ \varepsilon h $ est anodin.

[matmeca_mcf1]

Sans le $ \varepsilon h $ la propriété ne peut pas être démontrée (sans démontrer le résultat). La motivation est d'avoir une propriété vraie et facile à démontrer qui soit la plus proche possible de la propriété que l'on souhaitait au départ. On la démontre en voyant que
$$
\lim\limits_{h\to0^+}\lVert\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\rVert\leq \lim\limits_{h\to0^+}\frac{g(t+h)-g(t)}{h}
$$
Et cela implique que pour tout $ \varepsilon>0 $, il existe $ \delta>0 $ tel que $ 0<h<\delta $ suffisamment petit
$$
\lVert\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\rVert\leq \frac{g(t+h)-g(t)}{h}+\varepsilon
$$
On ne peut pas, a priori, supprimer le $ \varepsilon $. C'est pour cela qu'on le laisse. C'est aussi très classique de démontrer des ingéalités pour tout $ \varepsilon $ puis de passer à la limite quand $ \varepsilon $ tend vers 0.

[oty20]

Merci beaucoup, oui dans cet exemple l'ensemble $ \{ t \in [a,b]| \forall s \in [a,t] : ||f(s)-f(a)|| \leq g(s)-g(a)+ \varepsilon (s-a)\} $ apparaît de manière naturelle en traduisant l’hypothèse sur les dérivés avec un epsilonnage, ma question portait sur un cadre plus général, que représente cette ensemble intuitivement pour la fonction $ f $, vous l'aviez aussi introduit ici http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... start=6570 ,
et il apparaît aussi dans un sujet de ENSAE qui était autour du théorème D'Ekeland, il semblerait que cette ensemble permet intrinsèquement de révéler des propriétés sur $ f $ sous certaines conditions.

Pour ma part je faisais une analogie avec les fonctions de classe $ C^{1} $ comme suit :

- Souvent pour obtenir des informations sur $ f $, on voit si les hypothèses nous donnent plus facilement des informations sur $ f' $, puis remonter en intégrant.

- Que faire si on ne peut plus intégrer, on raisonne dans ce cas sur les différences finies https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference soit avec un epsilonnage soit avec une interpolation de Newton.

Mais cela me permet pas de comprendre le sens profond de cette ensemble.