Exo de géométrie complexe

[Zluuz]

quelle est la propriété qui permet de passer de la 2eme à la 3ème ligne pour faire apparaitre le module de (z-i)^2.
Si j'ai bien compris tu as fais : +1-1 puis ...?

[Zluuz]

Quelqu'un a-t-il compris la démarche svp?

[GaBuZoMeu]

Il faut que le nombre (z+i)/[(1/z)+i] soit réel.

$$ \frac{z+i}{\frac1z +i}=\frac{z(z+i)}{1+iz}=\frac{z(z+i)(1-i\overline z)}{(1+iz)(1-i\overline z)}=\frac{z(z+\overline z +i(1-|z|^2)}{|1+iz|^2} $$
L'expression de droite est réelle si et seulement si son numérateur est réel (son dénominateur est réel; on a fait ce qu'il fallait pour, en multipliant par la quantité conjuguée).
En posant $ z=x+iy $ avec $ x $ et $ y $ réel, le numérateur est
$$ z(z+\overline z +i(1-|z|^2))=(x+iy)(2x+i(1-x^2-y^2))=2x^2-y(1-x^2-y^2) +i x(2y+1-x^2-y^2) $$
la partie imaginaire de ce nombre est
$$ x(2y+1-x^2-y^2)=-x( x^2+(y-1)^2-2) $$

[Zluuz]

Ah oui le coup de module, j'avais finalement finis par comprendre. Mais par contre ce qui m'étonne, c'est comme tu l'as dis, il faut y penser. Donc j'aimerai bien connaître la démarche: il connaissait le résultat donc il a essayé d'extirper de cette expression un module? ...
On s'attend pas forcément à obtenir une "équation de cercle complexe" avec module.... et puis son résultat est très propre je trouve ... je suis conquis ^^

[GaBuZoMeu]

Attention, il n'y a pas que le cercle dans l'ensemble solution : il y a aussi une droite (l'axe imaginaire).

[Zluuz]

Oui merci je le sais, mais je reste encore étonné par rapport au resultat avec le module: c'est à force de faire des exos qu'il (que tu -si tu repasse par là ^^) a eu le réflexe de mettre sous la forme d'un module au carré (en faisant habilement apparaître le complexe et son conjugué)? Ou on peut en avoir l'intuition?
D'ailleurs, comment développer cette intuition en maths qui nous met sur la bonne démarche afin de résoudre un problème plus généralement en maths?