Probléme ensemble et applications
Probléme ensemble et applications
Bonjour à tous,
Juste avant les vacances, nous avons terminé le chapitre sur ensembles et applications.
En travaillant le TD, je trouve pas mal de difficultés, surtout sur une question.
Aprés reflexion, j'ai réussi à bricoler une réponse (pour le premier sens), mais je ne sais pas trop si elle est bonne. Pourriez-vous m'éclairer?
Enoncé :
Soient A et B deux parties non-vides de E et f l'application définie par :
$ f : P(E) \to P(A)\times P(B) ; X \mapsto (X \cap A, X \cap B) $
Montrer que f est surjective ssi $ A \cap B = \varnothing $
Ma réponse (pour le premier sens) :
Si $ A \cap B \neq \varnothing $ et f est surjective :
$ \exists X \subset (A \cap B) $ tel que $ X \neq \varnothing $
Soit $ X' \subset B $ tel que $ X' \not\subset A $ et $ X' \neq \varnothing $
Puisque f est sujective, $ \exists G \in P(E) / f(G) = (X,X') $
Donc $ (G\cap A, G \cap B) = (X,X') $
On a donc $ G \cap A = X $ et $ G \cap B = X' $
$ G\cap A \cap B = X \cap B = X $ et $ G\cap A \cap B = X' \cap A $
Donc $ X = X' \cap A $
Puisque $ X' \not\subset A $ ,$ X'\cap A = \varnothing $
Donc $ X = \varnothing $
Absurde. Donc $ A \cap B = \varnothing $
Juste avant les vacances, nous avons terminé le chapitre sur ensembles et applications.
En travaillant le TD, je trouve pas mal de difficultés, surtout sur une question.
Aprés reflexion, j'ai réussi à bricoler une réponse (pour le premier sens), mais je ne sais pas trop si elle est bonne. Pourriez-vous m'éclairer?
Enoncé :
Soient A et B deux parties non-vides de E et f l'application définie par :
$ f : P(E) \to P(A)\times P(B) ; X \mapsto (X \cap A, X \cap B) $
Montrer que f est surjective ssi $ A \cap B = \varnothing $
Ma réponse (pour le premier sens) :
Si $ A \cap B \neq \varnothing $ et f est surjective :
$ \exists X \subset (A \cap B) $ tel que $ X \neq \varnothing $
Soit $ X' \subset B $ tel que $ X' \not\subset A $ et $ X' \neq \varnothing $
Puisque f est sujective, $ \exists G \in P(E) / f(G) = (X,X') $
Donc $ (G\cap A, G \cap B) = (X,X') $
On a donc $ G \cap A = X $ et $ G \cap B = X' $
$ G\cap A \cap B = X \cap B = X $ et $ G\cap A \cap B = X' \cap A $
Donc $ X = X' \cap A $
Puisque $ X' \not\subset A $ ,$ X'\cap A = \varnothing $
Donc $ X = \varnothing $
Absurde. Donc $ A \cap B = \varnothing $
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.
Re: Probléme ensemble et applications
just prend X'=AinterB et X=vide ..s89ne a écrit : ↑31 oct. 2018 11:25Bonjour à tous,
Juste avant les vacances, nous avons terminé le chapitre sur ensembles et applications.
En travaillant le TD, je trouve pas mal de difficultés, surtout sur une question.
Aprés reflexion, j'ai réussi à bricoler une réponse (pour le premier sens), mais je ne sais pas trop si elle est bonne. Pourriez-vous m'éclairer?
Enoncé :
Soient A et B deux parties non-vides de E et f l'application définie par :
$ f : P(E) \to P(A)\times P(B) ; X \mapsto (X \cap A, X \cap B) $
Montrer que f est surjective ssi $ A \cap B = \varnothing $
Ma réponse (pour le premier sens) :
Si $ A \cap B \neq \varnothing $ et f est surjective :
$ \exists X \subset (A \cap B) $ tel que $ X \neq \varnothing $
Soit $ X' \subset B $ tel que $ X' \not\subset A $ et $ X' \neq \varnothing $
Puisque f est sujective, $ \exists G \in P(E) / f(G) = (X,X') $
Donc $ (G\cap A, G \cap B) = (X,X') $
On a donc $ G \cap A = X $ et $ G \cap B = X' $
$ G\cap A \cap B = X \cap B = X $ et $ G\cap A \cap B = X' \cap A $
Donc $ X = X' \cap A $
Puisque $ X' \not\subset A $ ,$ X'\cap A = \varnothing $
Donc $ X = \varnothing $
Absurde. Donc $ A \cap B = \varnothing $
2018-2019 : mp*
2019-........ : X
2019-........ : X
Re: Probléme ensemble et applications
Bonjour
Pour résoudre cet exercice, il est utile de faire un dessin pour bien se représenter ce que fait $f$, et chercher comme tu l'as fait un couple dont la relation avec son antécédent te permet de prouver que $A$ et $B$ sont disjoints.
Autant poser directement $X = A \cap B$, il vérifie bien ces hypothèses.
Qui te dit que $B$ n'est pas inclus dans $A$ ? Dans ce cas il n'existerait pas de tel $X'$...
Ce n'est pas vrai en général : si je pose $X' = \{1,2,3\}$ et $A = \{3,4,5\}$, j'ai bien $X' \not\subset A$ mais pourtant ils ne sont pas disjoints...
Pour résoudre cet exercice, il est utile de faire un dessin pour bien se représenter ce que fait $f$, et chercher comme tu l'as fait un couple dont la relation avec son antécédent te permet de prouver que $A$ et $B$ sont disjoints.
2014/2015 : MPSI Lycée Claude Bernard
2015/2016 : MP* Lycée Fénelon
2016/ ... : ENS Paris-Saclay - Département Maths
2015/2016 : MP* Lycée Fénelon
2016/ ... : ENS Paris-Saclay - Département Maths
Re: Probléme ensemble et applications
Merci beaucoup pour ta réponse.Tyaz a écrit : ↑31 oct. 2018 12:57Bonjour
Autant poser directement $X = A \cap B$, il vérifie bien ces hypothèses.Qui te dit que $B$ n'est pas inclus dans $A$ ? Dans ce cas il n'existerait pas de tel $X'$...Ce n'est pas vrai en général : si je pose $X' = \{1,2,3\}$ et $A = \{3,4,5\}$, j'ai bien $X' \not\subset A$ mais pourtant ils ne sont pas disjoints...
Pour résoudre cet exercice, il est utile de faire un dessin pour bien se représenter ce que fait $f$, et chercher comme tu l'as fait un couple dont la relation avec son antécédent te permet de prouver que $A$ et $B$ sont disjoints.
Je comprend mieux comment il fallait aborder l'exercice, et comment raisonner sur les exercices de ce cours.
Trés bonne journée et semaine!
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.