Probléme ensemble et applications

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Probléme ensemble et applications

Message par s89ne » 31 oct. 2018 11:25

Bonjour à tous,

Juste avant les vacances, nous avons terminé le chapitre sur ensembles et applications.
En travaillant le TD, je trouve pas mal de difficultés, surtout sur une question.
Aprés reflexion, j'ai réussi à bricoler une réponse (pour le premier sens), mais je ne sais pas trop si elle est bonne. Pourriez-vous m'éclairer?

Enoncé :

Soient A et B deux parties non-vides de E et f l'application définie par :
$ f : P(E) \to P(A)\times P(B) ; X \mapsto (X \cap A, X \cap B) $
Montrer que f est surjective ssi $ A \cap B = \varnothing $

Ma réponse (pour le premier sens) :

Si $ A \cap B \neq \varnothing $ et f est surjective :
$ \exists X \subset (A \cap B) $ tel que $ X \neq \varnothing $
Soit $ X' \subset B $ tel que $ X' \not\subset A $ et $ X' \neq \varnothing $
Puisque f est sujective, $ \exists G \in P(E) / f(G) = (X,X') $
Donc $ (G\cap A, G \cap B) = (X,X') $
On a donc $ G \cap A = X $ et $ G \cap B = X' $
$ G\cap A \cap B = X \cap B = X $ et $ G\cap A \cap B = X' \cap A $
Donc $ X = X' \cap A $
Puisque $ X' \not\subset A $ ,$ X'\cap A = \varnothing $
Donc $ X = \varnothing $

Absurde. Donc $ A \cap B = \varnothing $
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.

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Re: Probléme ensemble et applications

Message par Mosalahmoh » 31 oct. 2018 11:59

s89ne a écrit :
31 oct. 2018 11:25
Bonjour à tous,

Juste avant les vacances, nous avons terminé le chapitre sur ensembles et applications.
En travaillant le TD, je trouve pas mal de difficultés, surtout sur une question.
Aprés reflexion, j'ai réussi à bricoler une réponse (pour le premier sens), mais je ne sais pas trop si elle est bonne. Pourriez-vous m'éclairer?

Enoncé :

Soient A et B deux parties non-vides de E et f l'application définie par :
$ f : P(E) \to P(A)\times P(B) ; X \mapsto (X \cap A, X \cap B) $
Montrer que f est surjective ssi $ A \cap B = \varnothing $

Ma réponse (pour le premier sens) :

Si $ A \cap B \neq \varnothing $ et f est surjective :
$ \exists X \subset (A \cap B) $ tel que $ X \neq \varnothing $
Soit $ X' \subset B $ tel que $ X' \not\subset A $ et $ X' \neq \varnothing $
Puisque f est sujective, $ \exists G \in P(E) / f(G) = (X,X') $
Donc $ (G\cap A, G \cap B) = (X,X') $
On a donc $ G \cap A = X $ et $ G \cap B = X' $
$ G\cap A \cap B = X \cap B = X $ et $ G\cap A \cap B = X' \cap A $
Donc $ X = X' \cap A $
Puisque $ X' \not\subset A $ ,$ X'\cap A = \varnothing $
Donc $ X = \varnothing $

Absurde. Donc $ A \cap B = \varnothing $
just prend X'=AinterB et X=vide ..
2018-2019 : mp*
2019-........ : X

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Re: Probléme ensemble et applications

Message par Tyaz » 31 oct. 2018 12:57

Bonjour
s89ne a écrit :
31 oct. 2018 11:25
$ \exists X \subset (A \cap B) $ tel que $ X \neq \varnothing $
Autant poser directement $X = A \cap B$, il vérifie bien ces hypothèses.
s89ne a écrit :
31 oct. 2018 11:25
Soit $ X' \subset B $ tel que $ X' \not\subset A $ et $ X' \neq \varnothing $
Qui te dit que $B$ n'est pas inclus dans $A$ ? Dans ce cas il n'existerait pas de tel $X'$...
s89ne a écrit :
31 oct. 2018 11:25
Puisque $ X' \not\subset A $ ,$ X'\cap A = \varnothing $
Ce n'est pas vrai en général : si je pose $X' = \{1,2,3\}$ et $A = \{3,4,5\}$, j'ai bien $X' \not\subset A$ mais pourtant ils ne sont pas disjoints...

Pour résoudre cet exercice, il est utile de faire un dessin pour bien se représenter ce que fait $f$, et chercher comme tu l'as fait un couple dont la relation avec son antécédent te permet de prouver que $A$ et $B$ sont disjoints.
2014/2015 : MPSI Lycée Claude Bernard
2015/2016 : MP* Lycée Fénelon
2016/ ... : ENS Paris-Saclay - Département Maths

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Re: Probléme ensemble et applications

Message par s89ne » 03 nov. 2018 07:51

Tyaz a écrit :
31 oct. 2018 12:57
Bonjour
s89ne a écrit :
31 oct. 2018 11:25
$ \exists X \subset (A \cap B) $ tel que $ X \neq \varnothing $
Autant poser directement $X = A \cap B$, il vérifie bien ces hypothèses.
s89ne a écrit :
31 oct. 2018 11:25
Soit $ X' \subset B $ tel que $ X' \not\subset A $ et $ X' \neq \varnothing $
Qui te dit que $B$ n'est pas inclus dans $A$ ? Dans ce cas il n'existerait pas de tel $X'$...
s89ne a écrit :
31 oct. 2018 11:25
Puisque $ X' \not\subset A $ ,$ X'\cap A = \varnothing $
Ce n'est pas vrai en général : si je pose $X' = \{1,2,3\}$ et $A = \{3,4,5\}$, j'ai bien $X' \not\subset A$ mais pourtant ils ne sont pas disjoints...

Pour résoudre cet exercice, il est utile de faire un dessin pour bien se représenter ce que fait $f$, et chercher comme tu l'as fait un couple dont la relation avec son antécédent te permet de prouver que $A$ et $B$ sont disjoints.
Merci beaucoup pour ta réponse.

Je comprend mieux comment il fallait aborder l'exercice, et comment raisonner sur les exercices de ce cours.

Trés bonne journée et semaine!
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.

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