Exo de maths

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tsukiyumio
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Exo de maths

Message par tsukiyumio » sam. nov. 17, 2018 6:10 pm

Bonjour, pouvez-vous m'aider avec cet exo ? Merci.

" Soit A une matrice carrée de taille n diagonalisable.

Soit C(ev) un sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A.

Question : déterminer la dimension de C(ev)"

<<<<Soit f, g les endomorphismes canoniquement associé à A et M appartenant à C(ev)

Alors puisque A est diagonalisable, alors Mn(K) est une somme directe des sous-evs propres de f,

or fog=gof donc les sous-ev propres de f est stable par g.

Soit b1,b2,....bp les bases des sous-evs propres de f et b1 v b2.... v bp=b une base de Mn(K)

la matrice de g dans la base b est une matrice de diagonale en blocs où chaque bloc est la matrice de g restreint à un sous-ev propre de f.>>>>

Je suis bloqué à là justement.

Luckyos
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Re: Exo de maths

Message par Luckyos » sam. nov. 17, 2018 7:15 pm

Déjà, fait attention, f et g ne sont pas des endomorphismes de Mn(K), mais de ... (heureusement ça impacte pas ton raisonnement).

Jusque là c'est pas mal, t'as montré que les éléments du commutant de A (ton C(ev)) sont de la forme PBP^(-1) avec P inversible (qui est P ?) et B diagonale par blocs dont les tailles sont les dimensions des sous-espaces propres de A.

Quid de la réciproque ?
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Re: Exo de maths

Message par tsukiyumio » sam. nov. 17, 2018 7:30 pm

P = Pass (can,b)

Quid de la réciproque ? Comment ça ? (je ne connais pas cet expression)

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Re: Exo de maths

Message par Luckyos » sam. nov. 17, 2018 7:32 pm

Ca veut dire "est-ce que la réciproque est vraie" en gros.
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Re: Exo de maths

Message par tsukiyumio » sam. nov. 17, 2018 7:45 pm

Si on suppose le contraire, on démontre que les sous-evs propres de f est stable par g mais cela ne veut pas forcément dire que fog=gof, donc la réciproque n'est pas vraie.

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Re: Exo de maths

Message par tsukiyumio » sam. nov. 17, 2018 7:49 pm

f, g sont des endomorphismes dans une espace vectoriel E de dimension n et mat f (can) = A et mat g (can) = M appartenant à C(ev)

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Re: Exo de maths

Message par Luckyos » sam. nov. 17, 2018 7:51 pm

Essaie de raisonner purement matriciellement cette fois : A = PDP^(-1) avec D diagonale (on peut même être plus précis). On peut alors montrer facilement que A commute avec une matrice de la forme PBP^(-1) où B est diagonale par blocs dont les tailles sont les dimensions des sous-espaces propres de A.
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Re: Exo de maths

Message par tsukiyumio » sam. nov. 17, 2018 7:57 pm

Si je comprends bien, on peut construire une isomorphisme de C(ev) dans l'ensemble des matrices diagonales par blocs ?

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Re: Exo de maths

Message par Luckyos » sam. nov. 17, 2018 8:01 pm

Oui c'est vers ça que j'essaie de te guider, mais il y a encore une petite étape.

Fait gaffe à être précis sur l'espace si jamais c'est de l'écrit : d'abord définir un ordre des sous-espaces propres (E1, ..., Ep) et c'est l'espace des matrices diagonales par blocs où les blocs ont (dans l'ordre en descendant la diagonale) pour taille dim(E1), ..., dim(Ep).
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Re: Exo de maths

Message par tsukiyumio » sam. nov. 17, 2018 8:06 pm

Eeet j'imagine que tu vas pas me dire directement comment déterminer la dimension de l'ensemble des matrices diagonales par blocs ?

Luckyos
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Re: Exo de maths

Message par Luckyos » sam. nov. 17, 2018 8:09 pm

Je peux te dire que c'est immédiat si t'as compris que la dimension d'un espace c'est le nombre de paramètres indépendants qui définissent les éléments de cet espace.
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Re: Exo de maths

Message par tsukiyumio » sam. nov. 17, 2018 8:58 pm

ah, donc j'imagine que la dimension de C(ev) est la somme des dimensions des sous-ev propres de A.

Reste plus qu'à le prouver alors , merci beaucoup

BobbyJoe
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Re: Exo de maths

Message par BobbyJoe » sam. nov. 17, 2018 9:00 pm

Essaie de "dévisser" le problème!
Il faut essayer de comprendre pourquoi la connaissance du commutant de $ $$f$ est exactement liée à la connaissance des commutants des restrictions de $f$ à chacun de ses sous-espaces propres (non triviaux)!
Enfin, il est facile de déterminer le commutant d'une homothétie :p

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