Besoin d'aide exercice sur les projecteurs orthogonaux

[julienchz]

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour une question d'un exercice que je dois réussir à faire pour demain:

Dans E euclidien on donne p et q deux projecteurs orthogonaux
1)Montrer que p est autoadjoint (endomorphisme symétrique)
2)Montrer que p-q est diagonalisable
3)Montrer que E est somme directe orthogonale de sous espaces vectoriels de dimension 1 ou 2 stables par p et q

J'ai réussit les deux premières questions plutôt simples mais je bloque complètement sur la 3ème : j'ai pensé à regarder la dimension des sous espaces propres de p-q voir de p ou de q mais de dimension 1 et 2 fait que je ne vois pas quoi faire.
Pourriez-vous m'aidez si possible ? merci par avance à ceux qui essayeront.

[GaBuZoMeu]

Si $ x $ est un vecteur propre pour $ p-q $, que peux-tu dire du sous-espace engendré par $ x $ et $ p(x) $ ?

[julienchz]

Justement je ne vois pas comment cela peut m'amener jusqu'au résultat, en quoi les espaces seraient -ils de dimension 2?

[Luckyos]

Puisque $ p-q $ est diagonalisable, il admet un vecteur propre $ x $.
En notant $ E_x=Vect(x, p(x)) $, $ E_x $ est de dimension $ 1 $ ou $ 2 $ et est stable par $ p $ et $ q $.

Maintenant, essaie de raisonner par récurrence en considérant l'orthogonal de $ E_x $.