Une question et aide exo

[tsukiyumio]

Bonjour,

Question : c'est quoi une matrice scalaire ? Merci

Exo: Si A1,A2,...,Am sont matrices involutives de M2(K) qui commutent deux à deux alors m<= 4. Justifier
Je ne sais pas par où commencer

[zede]

Bonjour,

Question : c'est quoi une matrice scalaire ? Merci

On appelle matrice scalaire une matrice égale à λ.I avec λ un scalaire et I une matrice unité.

http://www.les-mathematiques.net/phorum ... p?2,196070

[Luckyos]

Exo: Si A1,A2,...,Am sont matrices involutives de M2(K) qui commutent deux à deux alors m<= 4. Justifier
Je ne sais pas par où commencer

Est-ce que tu as vu en cours ou en TD la codiagonalisation de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux ?

[tsukiyumio]

ah, je crois pas non. On parle de codiagonalisation lorsqu'on peut diagonaliser plusieurs matrices simultanément non ?

[Luckyos]

Oui c'est ça, la même base pour toutes les matrices.
Il y a un résultat assez utile mais hors programme là-dessus : les matrices d'une famille de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux sont simultanément diagonalisables.

Essaie d'utiliser ce résultat pour résoudre ton exo, ensuite il faudra le démontrer.

Après il y a peut-être une autre manière d'aborder le problème mais ça me paraît naturel, et le lemme est plutôt important.

[tsukiyumio]

ah je vois, comme les matrices involutives ont la même base propre, les seuls matrices diagonales qui sont possibles sont ceux qui ont 1 et -1 sur la diagonale. Donc m<= 4 merci