Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
euh l'argument heuristique si je ne me trompe pas serait le suivant :
pour tout $ 0<x <y : f(x) \geq \int_{y}^{y+1} f(t) dt $ en faisant tendre $ y \to \infty $ on obtient que $ f(x)\geq 0 $.
pour la limite on dispose déjà de l'existence de la limite par décroissante de $ f $, on peut conclure en remarquant que $ \sum f(n) $ est de même nature que l’intégrale ... donc terme général tend vers $ 0 $.
pour tout $ 0<x <y : f(x) \geq \int_{y}^{y+1} f(t) dt $ en faisant tendre $ y \to \infty $ on obtient que $ f(x)\geq 0 $.
pour la limite on dispose déjà de l'existence de la limite par décroissante de $ f $, on peut conclure en remarquant que $ \sum f(n) $ est de même nature que l’intégrale ... donc terme général tend vers $ 0 $.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
La démonstration de "f converge en +$ \infty $ et f intégrable => f tend vers 0 en +$ \infty $" a déjà été donnée par JeanN, mais on peut aussi dire que si sa limite l est non nulle, alors f y est équivalente en $ +\infty $ donc elle aussi non intégrable (l de signe constant).
MP
2018 - : Mines Paristech
2018 - : Mines Paristech
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
Joli !
Euh ouii t'as raison mais ce n'est pas aussi simple que cela, le passage de $ \lim_{n\rightarrow \infty } f(n) = l $ à $ \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = l $ n'est pas si évident ..
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
Oui donc en général une fonction monotone qui converge en +$ \infty $ et qui est intégrable sur Df tend vers 0 par un argument d'équivalence ( intégration des relations de comparaison) c'est ça ?Helserdin a écrit : ↑16 déc. 2018 08:06La démonstration de "f converge en +$ \infty $ et f intégrable => f tend vers 0 en +$ \infty $" a déjà été donnée par JeanN, mais on peut aussi dire que si sa limite l est non nulle, alors f y est équivalente en $ +\infty $ donc elle aussi non intégrable (l de signe constant).
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
[Euh ouii t'as raison mais ce n'est pas aussi simple que cela, le passage de $ \lim_{n\rightarrow \infty } f(n) = l $ à $ \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = l $ n'est pas si évident ..
[/quote]
Sisi ça l'est!
Par la décroissance de f, on peut écrire f([x]+1)<=f(x)<=f([x]) qui permet de conclure habilement par encadrement
[/quote]
Sisi ça l'est!
Par la décroissance de f, on peut écrire f([x]+1)<=f(x)<=f([x]) qui permet de conclure habilement par encadrement
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
Mon argument est correcte on sait que $ \lim_{x \to +\infty} f(x) $ existe par le théorème de la limite monotone , une manière encore plus simple de voir pourquoi mon argument marche autre que l'encadrement plus haut : la caractérisation séquentielle de la limite , ou l'unicité de la valeur d'adhérence.....
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
Ce sont des arguments qui marchent mais c'est très subtil!! Et de toute manière, t'es obligé de passer par l'encadrement de @Mathoss
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
pas forcément, une fois qu'on a la convergence, on a unicité de la valeur d'adhérence , par caractérisation séquentielle de la limite , il suffit d'avoir une suite $ u_{n} \to +\infty $ tel que on connait la limite $ \lim_{n } f(u_{n}) $ pour conclure par unicité de la valeur d'adhérence, dans mon cas j'ai pris $ u_{n}=n $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )
c'est plutôt l'intégrale de A à x de f<=eps(x-A) si x>A. La divergence vient de eps<0