Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

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Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

Message par oty20 » 15 déc. 2018 22:55

euh l'argument heuristique si je ne me trompe pas serait le suivant :

pour tout $ 0<x <y : f(x) \geq \int_{y}^{y+1} f(t) dt $ en faisant tendre $ y \to \infty $ on obtient que $ f(x)\geq 0 $.

pour la limite on dispose déjà de l'existence de la limite par décroissante de $ f $, on peut conclure en remarquant que $ \sum f(n) $ est de même nature que l’intégrale ... donc terme général tend vers $ 0 $.
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Message par Helserdin » 16 déc. 2018 08:06

La démonstration de "f converge en +$ \infty $ et f intégrable => f tend vers 0 en +$ \infty $" a déjà été donnée par JeanN, mais on peut aussi dire que si sa limite l est non nulle, alors f y est équivalente en $ +\infty $ donc elle aussi non intégrable (l de signe constant).
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Message par haw7ski » 17 déc. 2018 16:13

oty20 a écrit :
15 déc. 2018 22:55
euh l'argument heuristique si je ne me trompe pas serait le suivant :

pour tout $ 0<x <y : f(x) \geq \int_{y}^{y+1} f(t) dt $ en faisant tendre $ y \to \infty $ on obtient que $ f(x)\geq 0 $.
Joli !
oty20 a écrit :
15 déc. 2018 22:55
on peut conclure en remarquant que $ \sum f(n) $ est de même nature que l’intégrale ... donc terme général tend vers $ 0 $.
Euh ouii t'as raison mais ce n'est pas aussi simple que cela, le passage de $ \lim_{n\rightarrow \infty } f(n) = l $ à $ \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = l $ n'est pas si évident ..

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Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

Message par haw7ski » 17 déc. 2018 16:16

Helserdin a écrit :
16 déc. 2018 08:06
La démonstration de "f converge en +$ \infty $ et f intégrable => f tend vers 0 en +$ \infty $" a déjà été donnée par JeanN, mais on peut aussi dire que si sa limite l est non nulle, alors f y est équivalente en $ +\infty $ donc elle aussi non intégrable (l de signe constant).
Oui donc en général une fonction monotone qui converge en +$ \infty $ et qui est intégrable sur Df tend vers 0 par un argument d'équivalence ( intégration des relations de comparaison) c'est ça ?

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Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

Message par Mathoss » 17 déc. 2018 20:20

[Euh ouii t'as raison mais ce n'est pas aussi simple que cela, le passage de $ \lim_{n\rightarrow \infty } f(n) = l $ à $ \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = l $ n'est pas si évident ..
[/quote]

Sisi ça l'est!
Par la décroissance de f, on peut écrire f([x]+1)<=f(x)<=f([x]) qui permet de conclure habilement par encadrement
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
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2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques

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Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

Message par oty20 » 18 déc. 2018 01:46

Mon argument est correcte on sait que $ \lim_{x \to +\infty} f(x) $ existe par le théorème de la limite monotone , une manière encore plus simple de voir pourquoi mon argument marche autre que l'encadrement plus haut : la caractérisation séquentielle de la limite , ou l'unicité de la valeur d'adhérence.....
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Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

Message par haw7ski » 18 déc. 2018 10:55

Ce sont des arguments qui marchent mais c'est très subtil!! Et de toute manière, t'es obligé de passer par l'encadrement de @Mathoss

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Message par oty20 » 18 déc. 2018 16:41

haw7ski a écrit :
18 déc. 2018 10:55
t'es obligé de passer par l'encadrement de @Mathoss
pas forcément, une fois qu'on a la convergence, on a unicité de la valeur d'adhérence , par caractérisation séquentielle de la limite , il suffit d'avoir une suite $ u_{n} \to +\infty $ tel que on connait la limite $ \lim_{n } f(u_{n}) $ pour conclure par unicité de la valeur d'adhérence, dans mon cas j'ai pris $ u_{n}=n $
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Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

Message par haw7ski » 04 févr. 2019 16:57

Nabuco a écrit :
14 déc. 2018 22:14
donc l intégrale de A à x de f <= eps x et tend vers -infini
T'es sûr ? Pourquoi ça diverge ?

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Re: Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

Message par Nabuco » 04 févr. 2019 17:00

c'est plutôt l'intégrale de A à x de f<=eps(x-A) si x>A. La divergence vient de eps<0

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