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[Nabuco]

Bonsoir, je suis bloqué sur un exercice, je ne cherche pas à avoir la solution mais seulement avoir quelques pistes.

Enoncé : Déterminer les valeurs de n tel que n2^(n-1)+1 soit un carré parfait.

Brouillon : n2^(n-1) est pair. Donc notre notre nombre est impair. Un carré x^2 est impair est impair ssi x est impair. On peut donc écrire x sous la forme x=2k+1 avec k entier.
On injecte ceci dans notre formule. On obtient donc, $ n2^{n-1}=4(k^{2}+k) $. D'où $ n2^{n-3}=(k(k+1) $. Il faut faire une disjonction pour les valeurs de n comprises entre 0 et 3 mais de toute façon aucun de ces entiers n'est solution. On a donc 2^{n-3}qui divise k(k+1). Or, ce sont deux entiers consécutifs, donc 2^{n-3} divise k ou k+1 d'après Gauss. Là je bloque et je ne sais plus quoi faire. n=5 marche et il me semble que c'est la seule solution.

Merci.

Vu que k et k+1 sont premiers entre eux tu peux trouver qqch de gros qui minore k ou k+1 car le divise, et ensuite justifier que ce n est pas possible pour n assez grand.

[Krik]

À partir de là, on peut remarquer que soit $ k=0 $(donc n=0), soit $ k+1 \geq 2^{n-3} $, donc $ k(k+1)=n2^{n-3} \geq 2^{n-3}(2^{n-3}-1) $, d'où : $ n \geq 2^{n-3}-1 $. Et ça ne va être possible que pour des valeurs de n petites car la puissance de 2 va "croître beaucoup plus vite" que n.

Édit : grillé par Nabuco. Ça m'apprendra à écrire en tex depuis mon téléphone