Un problème de dénombrement

[Léopol Ikheneche]

Bonjour,

Je me demandais récemment comment calculer la probabilité d'obtenir au moins trois cartes de même valeur (par exemple, trois 2 ou bien trois Rois) en en piochant $ p $ (sachant qu'il y a au total 52 cartes).
J'ai d'abord calculé le nombre de mains sans triplet. J'ai donc pensé à utiliser une combinaison de $ p $ éléments avec répétions autorisées mais limitées (à savoir à deux répétitions) dans cet ensemble :$ \{1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, \textrm{Valet}, \textrm{Dame}, \textrm{Roi}\} $

Le problème est que je n'arrive pas à expliciter cette combinaison. Merci de votre aide.

[Inversion]

Bonjour,

J'ignore si cela est correct mais intuitivement je dirais :
1) On choisit quelle est la valeur de la carte qui sera au moins en $ 3 $ exemplaires dans les cartes choisies ce qui donne $ 13 $ choix pour un jeu de carte classique.
2) On choisit quelles seront les $ 3 $ couleurs de la carte parmi les $ 4 $ possibles qui apparaîtront obligatoirement dans le paquet, ce qui donne $ \dbinom{4}{3}=4 $ possibilités.
3) On choisit quelles seront les cartes qui figureront dans le paquet autres que celles déjà mises, ce qui donne $ \dbinom{53-3}{p-3}=\dbinom{49}{p-3} $ possibilités.
Ceci donnerait $ 13*4*\dbinom{49}{p-3} $ issues favorables soit une probabilité de :
$ \frac{13*4*\dbinom{49}{p-3}}{\dbinom{53}{p}} $
Mais encore une fois j'ignore si cela est correct, en tout cas c'est comme cela que je raisonnerais.

[matmeca_mcf1]

Il m'a parut naturel de calculer d'abord le nombre de mains sans triplet. J'ai donc pensé à utiliser une combinaison de $ p $ éléments avec répétions autorisées mais limitées (à savoir à deux répétitions) dans cet ensemble :$ \{1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, \textrm{Valet}, \textrm{Dame}, \textrm{Roi}\} $
Le problème est que je n'arrive pas à expliciter cette combinaison. Merci de votre aide.

Cela ne va pas suffire à répondre à votre problème car vous ne prenez pas en compte que tirer coeur et pique est un évènement différent de tirer coeur et trèfle. Cela donnerait
$$
\sum_{\begin{subarray}{c}\ell,m\geq 0\\
\ell+2m=p\\\ell+m\leq 13\end{subarray}}\frac{13!}{\ell!m!(13-\ell-m)!}
$$

Si on prend en compte l'existence des couleurs, cela donne alors
$$
\sum_{\begin{subarray}{c}\ell,m\geq 0\\
\ell+2m=p\\\ell+m\leq 13\end{subarray}}\frac{13!}{\ell!m!(13-\ell-m)!}4^\ell 6^m
$$

Je n'ai pas cherché à simplifier les sommes.

[Léopol Ikheneche]

Merci pour votre réponse.

[V@J]

Pour ton problème initial, mieux utiliser directement un arbre de probabilités.

[franck75]

Ne serait il pas plus simple de passer par l'événement contraire ?
tirer au plus deux cartes de même valeur ce qui équivaut à :
* les p cartes sont toutes de valeurs différentes
* il y a exactement deux valeurs identiques parmi les p cartes