Exercice d'algèbre linéaire

[jd6]

Bonjour,

J'ai un DM à réaliser pendant les vacances, et je bloque sur une question.
On suppose que f et g sont deux applications linéaires de E vers F (K-ev de dimension finie) telles que pour tout x de E, (f(x),g(x)) est une famille liée. On suppose de plus que $ rg(f)\geq2 $
Il y a quelques questions intermédiaires, on sait par exemple qu’il existe un unique scalaire $ \lambda_x $ tq $ g(x)=\lambda_x f(x) $ pour tout x n'appartenant pas à Ker f

Soit $ (x,y)\in (E\setminus \texttt{Ker} f)² $ tel que $ \texttt{Ker} f \cap Vect(x,y) \neq \{0_E\} $. Montrer que $ \texttt{Ker} f + Vect(x,y) \subsetneq E $ puis en déduire que $ \lambda_x = \lambda_y $
J'ai réussi à répondre à la première partie de la question en raisonnant sur les dimensions, mais je ne vois pas comment en déduire l’égalité demandée. J’ai posé un vecteur a tel qu’il ne soit pas dans Ker f et Vect(x,y), puis j’ai pensé me ramener à une question précédente, en montrant que (x, a) est libre et que $ \texttt{Ker} f \cap Vect(x,a) = \{0_E\} $. Mais je n’arrive pas à montrer la dernière égalité. Est-ce la bonne méthode ? Auriez-vous des pistes ? Je vous remercie beaucoup pour votre réponse !


Bonnes fêtes,

Bien cordialement,

jd6.

[Luckyos]

Pour la 1ère partie de la question pas besoin de dimension (et si $ E $ et $ F $ sont de dimension potentiellement infinie, on peut possiblement dire des conneries). Remarque simplement que x est dans la somme et est non nul (sinon il serait dans $ Ker(f) $). Mais j'ai pas trouvé l'utilité de cette question par contre :/

Perso j'ai considéré $ a = \lambda x + \mu y $ non nul dans $ Ker (f) $.
On peut écrire $ g(a) $ de deux façons différentes par linéarité.

Tu obtiens quelque chose du type $ f(b)=0 $ en égalisant les deux. Mais alors on a aussi $ g(b) = 0 $. De ces deux dernières égalités tu peux aboutir au résultat souhaité en raisonnant par l'absurde et en bidouillant un peu.

[jd6]

Merci pour votre réponse. Je me suis en fait trompé en recopiant la question, c'est "montrer que Ker f + Vect(x,y) est inclus strictement dans E". Je corrige le premier post. On suppose aussi que E et F sont deux K-ev de dimension finie. J'ai oublié aussi de préciser que l'existence du $ \lambda_x $ n'est vraie que lorsque x n'est pas dans Ker f.
Je vais étudier votre idée. Merci !
Edit : puisque a appartient à Ker f, on ne peut plus écrire g(a) de deux façons différentes, si je ne fais pas d'erreur.

[JeanN]

Bonjour,

J'ai un DM à réaliser pendant les vacances, et je bloque sur une question.
On suppose que f et g sont deux applications linéaires de E vers F (K-ev de dimension finie) telles que pour tout x de E, (f(x),g(x)) est une famille liée. On suppose de plus que $ rg(f)\geq2 $
Il y a quelques questions intermédiaires, on sait par exemple qu’il existe un unique scalaire $ \lambda_x $ tq $ g(x)=\lambda_x f(x) $ pour tout x n'appartenant pas à Ker f

Soit $ (x,y)\in (E\setminus \texttt{Ker} f)² $ tel que $ \texttt{Ker} f \cap Vect(x,y) \neq \{0_E\} $. Montrer que $ \texttt{Ker} f + Vect(x,y) \subsetneq E $ puis en déduire que $ \lambda_x = \lambda_y $
J'ai réussi à répondre à la première partie de la question en raisonnant sur les dimensions, mais je ne vois pas comment en déduire l’égalité demandée. J’ai posé un vecteur a tel qu’il ne soit pas dans Ker f et Vect(x,y), puis j’ai pensé me ramener à une question précédente, en montrant que (x, a) est libre et que $ \texttt{Ker} f \cap Vect(x,y) = \{0_E\} $. Mais je n’arrive pas à montrer la dernière égalité. Est-ce la bonne méthode ? Auriez-vous des pistes ? Je vous remercie beaucoup pour votre réponse !

C'est bien de chercher son DM
Et oui, c'est la bonne méthode à une petite coquille près je suppose (remplacer y par a partout)
Pour démontrer que l'intersection est nulle, écrire z=alpha. x+ beta. a une CL qui appartient à Ker(f), commencer par montrer que beta=0 puis que alpha=0.

[Luckyos]

Du coup la réponse à la première question est moins triviale en effet (j'ai utilisé le théorème du rang et l'hypothèse sur le rang de f), et on peut l'utiliser comme tu l'as dit dans ton post. Il me semble que j'ai eu cet exo dans un DM de sup maintenant que t'as corrigé l'énoncé.

Tu peux oublier ma première méthode qui est pas optimale du tout. Considère $ z $ qui n'est pas dans la somme, et montre que $ \lambda_z $ est égal aux deux autres.
Visiblement t'as une question précédente qui traite le cas où $ (x,y) $ est libre et vérifie $ Ker(f) \cap Vect(x,y) = \{0\} $.
Tu peux l'appliquer à $ x $ et $ z $ en appliquant $ f $ à une combinaison linéaire nulle de $ x $ et $ z $.

(Dans ma première méthode je voulais que t'écrives $ 0 = \lambda \lambda_x f(x) + \mu \lambda_y f(y) $ et donc $ b = \lambda \lambda_x x + \mu \lambda_y y $ mais oublie cette histoire)

[jd6]

Merci pour vos réponses !

En effet, c'est une coquille. Je veux bien montrer que Vect(x, a) inter Ker f est le singleton 0.
J'ai en effet posé une combinaison $ z = \alpha x + \beta a $. J'obtiens $ 0 = \alpha f(x) + \beta f(a) $ puisque z est dans Ker f et f linéaire. On sait que f(a) et f(x) sont différents de $ 0_F $ car ne sont pas dans Ker f. Pour montrer que $ \beta=0 $, j'ai essayé de raisonner par l'absurde, on a ainsi $ f(a)=-\frac{\alpha}{\beta}f(x) $, puis de faire une disjonction de cas sur les valeurs de alpha, mais je ne vois pas comment aboutir à une contradiction. J'ai toujours l'hypothèse $ a \notin Vect(x,y) $ mais je ne sais pas comment l'utiliser. Ai-je raté quelque chose ?

[JeanN]

Tu as surtout a qui n'est pas dans Ker(f)+Vect(x,y) donc tu peux en déduire que beta=0

[jd6]

Merci pour votre réponse.
Suffirait-il alors d'écrire que si $ \beta \neq 0, a=\frac{1}{\beta}z-\frac{\alpha}{\beta}x $, ce qui est absurde car, puisque z est dans Ker f (et Ker f est stable par combinaison linéaire) et$ -\frac{\alpha}{\beta}x $ est dans Vect(x,y), a appartient à Ker f + Vect(x,y), ce qui est absurde ? On conclurait par pseudo intégrité pour montrer que alpha vaut 0.
Dans le DM, j'ai aussi une question sur la question 3. On a : $ \exists e \in E, Im (f) = Im (g) = Ke $ Ne serait-pas plutôt $ \exists e \in F $ car Im(g) est un sous-ensemble de F par définition de f ?

[JeanN]

Merci pour votre réponse.
Suffirait-il alors d'écrire que si $ \beta \neq 0, a=\frac{1}{\beta}z-\frac{\alpha}{\beta}x $, ce qui est absurde car, puisque z est dans Ker f (et Ker f est stable par combinaison linéaire) et$ -\frac{\alpha}{\beta}x $ est dans Vect(x,y), a appartient à Ker f + Vect(x,y), ce qui est absurde ? On conclurait par pseudo intégrité pour montrer que alpha vaut 0.

Oui

Dans le DM, j'ai aussi une question sur la question 3. On a : $ \exists e \in E, Im (f) = Im (g) = Ke $ Ne serait-pas plutôt $ \exists e \in F $ car Im(g) est un sous-ensemble de F par définition de f ?

Oui, c'est une coquille de l'énoncé.

[jd6]

Merci pour vos réponses !