Maths 1 Centrale PC 2018

[zorg]

Bonjour
Je cherche une bonne âme qui pourrait m'expliquer la question 41 (c'est la dernière question) de l'épreuve Maths 1 Centrale PC 2018
http://www.concours-centrale-supelec.fr ... s/M011.pdf

Merci.

[oty20]

De souvenir il y a eu tout un topic exclusivement dédier à cette question sur le forum. Tu peux chercher sur le forum si besoin.

[JeanN]

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=66291

Il n'allait pas bien loin ce topic...
Je ne peux vous transmettre ce qu'il y a dans le corrigé sur le site de l'ups car il n'y a pas de tel corrigé

[zorg]

On ne sait pas trop si cette dernière question relève des mathématiques ou d'une interprétation physique du modèle probabiliste de l'équation de la chaleur. Dans le rapport du jury, on apprend que seule une dizaine de candidats ont donné des réponses cohérentes à cette question.
Le jury Centrale serait bien inspiré de fournir un corrigé succinct de l'épreuve ou tout du moins des questions épineuses ou litigieuses. Ça permettrait de faire avancer les candidats (plutôt que de lamenter sur ce que ne savent pas faire les candidats).
(Et bien sûr Mines-Pont pourrait faire de même surtout pour sa scandaleuse épreuve Mines 1 PC 2018...)

[oty20]

Ah oui! j'avais cru que saysws avait retenter d'y répondre...

[saysws]

Ah oui! j'avais cru que saysws avait retenter d'y répondre...

Et non

moi aussi en voyant ce topic je me suis dis que j'avais déjà du y répondre quelque part, et en cherchant je suis tombé la dessus :/

En fait la seule chose que je vois c'est l'inverse : la méthode numérique est stable si la particule n'est pas trop localisée (il me semble qu'on doit avoir r<1/2 donc la position a deux cases près). Mais ça n'a pas vraiment de sens

Après je pense qu'on peut pas trop leur en vouloir d'avoir fait une question incompréensible au vue du reste du sujet

Maths 1 PC/PSI des Mines c'était autre chose par contre, et parlons pas de physique 1, surtout qu'il était commun aux 3 fillières..

[matmeca_mcf1]

La question est difficile puisqu'il faut revenir en arrière de plusieurs questions et les refaire avec une marche aléatoire légèrement différente. Au lieu de faire une marche aléatoire avec probabilité 1/2 d'aller à gauche et probabilité 1/2 d'aller à droite, on regarde la marche aléatoire suivante:

• $ P(X_n=1)=P(X_n=-1)=\mu/2 $
• $ P(X_n=0)=1-\mu $

On a forcément $ 0\leq \mu\leq 1 $

Quand on arrive à la question 40, on obtient alors l'égalité
$$
\frac{p_{n+1}(k)-p_n(k)}{\tau}=\mu\frac{\delta^2}{2\tau}\frac{p_n{k+1}-2p_n(k)+p_n(k-1)}{\delta^2}.
$$
C'est la même formule que le schéma numérique de la question III si $ \mu\delta^2/(2\tau)=1 $. On peut trouver un tel $ \mu $ dans $ \rbrack0,1\rbrack $ si et seulement si $ \delta^2/(2\tau)\geq 1 $.

Si on veut plus de détails, la nième itérée du schéma est égal au produit de convolution dans $ \ell^2(\mathbb{Z}) $ de $ f_0 $ par $ p_n $ si $ \mu\delta^2/(2\tau)=1 $. C'est difficile à voir si on ne connait pas le concept de solution élémentaire. Et on a pour tout $ 1\leq q\leq\infty $, en utilisant l'inégalité de Young sur les convolutions (la convolution et cette inégalité sont-elles vues en prépa?)
$$
\lVert f_n\rVert_{\ell^q}=\lVert p_n*f_0\rVert_{\ell^q}\leq
\lVert p_n\rVert_{\ell^1}\lVert f_0\rVert_{\ell^q}\leq
\lVert f_0\rVert_{\ell^q}.
$$
car $ \lVert p_n\rVert_{\ell^1}=1 $ car la norme $ \ell^1 $ d'une densité de probabilité discrète est égale à $ 1 $.