Dénombrements de partie de E, bloquer

[Poiloto4]

Bonjour, je bloque sur le dénombrement de partie de E, voici l'énoncé :

Soient E = [[1,n]] et r appartenant à [[1,n]] :

1) Quel est le nombre de parties de E qui contiennent r éléments ?

Celle là j'ai réussi, j'ai trouvé $ \binom{n}{r} $

2) Montrer que le nombre de parties A de E telles que card(A) = r et max(A) = n-1 est $ \binom{n-2}{r-1} $

Réussi aussi

3) Montrer que $ \binom{n}{r} $= $ \sum\binom{k-1}{r-1} $ pour k allant de r à n

Celle là je bloque complétement, je n'arrive pas à faire le lien avec les questions d'avant, si quelqu'un pourrait m'aider

Merci d'avance

[rickyy]

Pourtant, je pense qu'il faut justement utiliser les questions d'avant.
La première question parles des parties à r éléments. Et le nombre de ces parties est justement celui que tu cherches dans la Q3.
La deuxième question parles des parties à r éléments ayant un élément maximal fixé. Et le nombre de ces parties ressemble beaucoup au terme général de la somme de la Q3.

Ça ne te donne pas une idée ?

[Poiloto4]

Pourtant, je pense qu'il faut justement utiliser les questions d'avant.
La première question parles des parties à r éléments. Et le nombre de ces parties est justement celui que tu cherches dans la Q3.
La deuxième question parles des parties à r éléments ayant un élément maximal fixé. Et le nombre de ces parties ressemble beaucoup au terme général de la somme de la Q3.

Ça ne te donne pas une idée ?

Cette somme représente donc la somme des nombres de parties tel que max(A) appartient à [[r,n]] ? Le faite que r n'est pas constant me bloque et je n'arrive pas à comprendre

[JeanN]

Justement, r est fixé

[Poiloto4]

Je ne comprends toujours pas

[rickyy]

r est fixé.
Tu comptes de deux façons les parties à r éléments:
1) Avec la question 1
2) Avec la question 2 selon leur élément maximal. Chaque partie à r éléments a un élément maximal (dont tu peux facilement montrer qu'il doit être entre r et n).

[loupiot_berthelot]

le résultat de la question 2 peut-être étendue pour tout m=max(A) compris dans $ [\![ r,n ]\!] $
Tu peux écrire l'ensemble des parties de E contenant r éléments distincts comme une réunion disjointe des parties de E ayant r éléments distincts avec le maximum variant de r à n. Tu devrais pouvoir conclure aisément