Nombre de diviseurs

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Arithmétique TS

Message par JeanN » 02 janv. 2019 22:48

Brain a écrit :
02 janv. 2019 18:08
Bonsoir, et merci du temps que vous m'accorderez :

Enoncé : Soit, p1, p2, ..., pn des nombres premiers strictement supérieurs à 3. Montrer que $ 2^{p_1...p_n}+1 $ admet au moin 4^n diviseurs.

Je ne voulais pas faire de récurrence, donc j'ai commencé avec un raisonnement direct. Je pense avoir un peu débroussailler le problème mais il me manque quelques chose qui fait que je n'arrive pas à le résoudre totalement :
SPOILER:


Le produit de nombres strictement impairs est impair. $ p_i $ est supérieur à 3 et est premier. Tout nombre premier supérieur à 3 est impair. Donc $ p_1...p_n $est impair.
$ 2^{p_1...p_n}+1=(2^{p_1...p_{n-1}})^{p_n}+1=(2^{p_1...p_{n-1}}+1)\sum_{i=0}^{p_n-1}(-1)^i(2^{p_1...p_{n-1}})^i $.

Mais on peut encore le répéter puisque $ p_1...p_{n-1} $ est impair. $ 2^{p_1...p_n}+1=(2^{p_1...p_{n-1}})^{p_n}+1=(2^{p_1}+1)\sum_{i=0}^{p_2-1}(-1)^i(2^{p_1})^i..... \sum_{i=0}^{p_n-1}(-1)^i(2^{p_1...p_{n-1}})^i $. On remarque que l'on possède n-1 sommes et $ 2^p+1 $ soit en tout n facteurs. p est impair et n'est donc pas une puissance de 2. Donc $ 2^p+1 $ est premier. On répète : $
2^{p_1...p_n}+1=(2^{p_1...p_{n-1}})^{p_n}+1=3\sum_{i=0}^{p_1-1}(-1)^i(2)^i \sum_{i=0}^{p_2-1}(-1)^i(2^{p_1})^i..... \sum_{i=0}^{p_n-1}(-1)^i(2^{p_1...p_{n-1}})^i $. Il y a n+1 facteurs
On ne sait pas si nos nombres dans nos sommes sont premiers ou pas. On va donc oublier des facteurs, mais ce n'est pas grave car on veut savoir s'il possède au moins $4^n$ diviseurs. Il y a n+1 termes, tous à la "puissance 1". Donc il admet 2^(n+1) diviseurs, minimum. Comment faire pour arriver à 4^n ?

https://artofproblemsolving.com/communi ... 326p118690

Bonne lecture
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Re: Arithmétique TS

Message par loupiot_berthelot » 03 janv. 2019 16:58

Pour montrer une égalité sur des ensembles, on montre souvent une double inclusion. Donc en général tu peux écrire $ E\subset E $.
Pour pas avoir d’ambiguïté, $ X\subset E, X\neq E $ s'écrit aussi $ X\subsetneq E $
Vu ton problème, je pense que tu dois prendre en compte $ E $ :P
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Re: Arithmétique TS

Message par Errys » 03 janv. 2019 19:26

Non elle est encore utilisée, mon prof de maths l'utilise, ça évite de confondre avec d'autres signes (typiquement, quand j'écris vite mes $ \subset $ ressemblent plus à des < qu'autre chose ^^)
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