Exercice valeurs propres

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Exercice valeurs propres

Message par Aidemaths1 » 04 janv. 2019 00:44

Bonjour, je suis en deuxième année de prépa et je bloque sur un exercice pourriez vous m'aider s'il vous plaît ? Voici l'énoncé de l'exercice :E un R espace vectoriel de dimension finie n >2. Soit p et q deux projecteurs non triviaux, tel que p+q≠ IdE et poq=qop

Montrer que Sp (p+q) est inclus dans {0,1,2} puis établir une relation entre Im p et Im q équivalente à (2 appartient à Sp (p+q))

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Re: Exercice valeurs propres

Message par matmeca_mcf1 » 04 janv. 2019 00:59

Commencez par montrer que le noyau de q est stable par p.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Exercice valeurs propres

Message par Aidemaths1 » 04 janv. 2019 01:18

C'est fait, j'ai également montré que l'image de q est stable par p

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Re: Exercice valeurs propres

Message par Luckyos » 04 janv. 2019 01:44

Tu peux alors considérer le projecteur q_i induit sur l'image de p, et idem pour q_k sur le noyau de p.
Maintenant, essaie de trouver une bonne base adaptée à la somme directe E = Ker(p) + Im(p) puis dessine les matrices de p et q dans cette base (les matrices obtenues doivent être très simples, même celle de q !).
Si tu réussis ça tu pourras répondre aux deux questions facilement juste en regardant les matrices.
X2018

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