TS -> Nombres harmoniques

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 4

Inscription : 03 mars 2017 15:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

TS -> Nombres harmoniques

Message par Knamys » 05 janv. 2019 19:31

Salut,

je bloque sur un problème tout con que m'a donné mon prof de maths.

http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~flem ... pement.pdf

En gros je dois me ramener à résoudre la première partie de cet exercice mais avec des étapes intermédiaires évidemment. J'ai réussi à résoudre l'exo qu'il m'avait donné mais sans arriver à justifier que $ \frac{1}{n}Hn $ était décroissante, ça me parait évident mais je n'arrive pas à trouver une piste. Sachant que je montre juste avant que $ Hn= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} $ est croissante

Merci pour votre aide !
2019-2020: PCSI
2020-2021: PC* (ESPCI)
2021-2022: PC* (5/2)

Messages : 0

Inscription : 04 oct. 2017 15:58

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: TS -> Nombres harmoniques

Message par Errys » 05 janv. 2019 19:41

Bonjour,
Tu peux calculer
$$ \dfrac{1}{n+1} H_{n+1} - \dfrac{1}{n}H_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} + \left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\right)H_n $$
En mettant tout au même dénominateur tu devrais y arriver ! Si jamais tu bloques tu peux regarder le spoiler.
SPOILER:
$$ \dfrac{1}{n+1}H_{n+1} - \dfrac{1}{n}H_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} - \dfrac{H_n}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n+1}\left( \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{H_n}{n}\right) = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{n - (n+1)H_n}{n(n+1)} \right) $$
Puis tu peux remarquer que $ (n+1)H_n $ est composé de $n$ termes supérieurs à 1 et conclure.
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?

Messages : 3823

Inscription : 17 avr. 2012 21:19

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: TS -> Nombres harmoniques

Message par bullquies » 05 janv. 2019 19:46

tu peux faire le rapport de $ \frac{1}{n+1} H_{n+1} $ par $ \frac{1}{n} H_{n} $. En simplifiant bien les choses tu trouves quelque chose d'inférieur à 1. Avec le fait que H est toujours positive, tu conclus facilement :)

Sinon comme Errys
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

Messages : 4

Inscription : 03 mars 2017 15:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: TS -> Nombres harmoniques

Message par Knamys » 05 janv. 2019 23:41

Merci beaucoup pour vos deux réponses, je pensais qu'il y a avait une astuce pour passer outre le calcul, my bad !

Bonne soirée :)
2019-2020: PCSI
2020-2021: PC* (ESPCI)
2021-2022: PC* (5/2)

Répondre