Aide exo : série de Riemann

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Aide exo : série de Riemann

Message par tsukiyumio » 06 janv. 2019 18:18

On note une fonction $ \varsigma\ : x\mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x} $ et une fonction $ \phi\ : x\mapsto\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n^x} $

J'ai montré que $ \forall x \in ]1;\infty[, \varsigma(x)-\phi(x) = \frac{1}{2^{x-1}}\varsigma(x) $ et que, pour un réel a, la fonction $ h\to \frac{1}{h}[exp(ah) - 1] $ est prolongeable en classe C infini en 0

La question est d'en déduire qu'il existe une fonction $ \chi $ de classe C infini sur$ ]-1;\infty[ $ t.q pour tout h > 0

$ \varsigma(1+h) = \frac{1}{h}\chi(h) $

Je ne sais pas comment exploiter la deuxième hypothèse

Merci pour votre aide

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Re: Aide exo : série de Riemann

Message par matmeca_mcf1 » 06 janv. 2019 18:57

Avez-vous montré que $ \phi $ est de classe C infini sur $ ]0,+\infty[ $ ?
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Re: Aide exo : série de Riemann

Message par tsukiyumio » 06 janv. 2019 19:32

Oui, par convergence uniforme

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Re: Aide exo : série de Riemann

Message par matmeca_mcf1 » 06 janv. 2019 20:10

C'est presque fini dans ce cas. Exprimer $ \zeta $ en fonction de $ \phi $.
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Re: Aide exo : série de Riemann

Message par tsukiyumio » 06 janv. 2019 20:56

comment on fait apparaître le (1/h) après ?

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Re: Aide exo : série de Riemann

Message par JeanN » 06 janv. 2019 21:15

Ben tu poses X(h) comme tu le souhaites en fonction de phi : tu n'as pas trop le choix en fait.
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Re: Aide exo : série de Riemann

Message par tsukiyumio » 06 janv. 2019 21:16

Ah ok, merci. J'ai fait une connerie dans mes calculs :?

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