aide exo : série

[tsukiyumio]

Bonsoir,

soit (t,x) deux réels
soit une série de fonctions $ \sum_{n=1}^\infty n^t \frac{x^n}{n!} $ qui CVS sur $ \mathbb{R}^2 $ et CVU sur tout intervalle bornée de $ \mathbb{R}^2 $ qu'on noterait f(x,t)

Propriété particulière : $ f(x,t+1)=x\frac{\partial{f(x,t)}}{\partial{x}} $

Voici la question : montrer pour tout t strictement positif, qu'il existe un polynôme P(x) dépendant de t tel que : f(x,t) = exp(x).P(x)

Pourriez-vous me donner une indication svp, merci.

[oty20]

y a pas de t dans l'expression de f(x,t)

[oty20]

Tu pourrais chercher une solution par séparation de variable de la forme f(x,t)=g(x)h(t) , l'unicité viendrait du fait que f(x,t) est défini comme étant limite d'une série de fonction

[JeanN]

Bonsoir,

soit (t,x) deux réels
soit une série de fonctions $ \sum_{n=1}^\infty n^t \frac{x^n}{n!} $ qui CVS sur $ \mathbb{R}^2 $ et CVU sur tout intervalle bornée de $ \mathbb{R}^2 $ qu'on noterait f(x,t)

Propriété particulière : $ f(x,t+1)=x\frac{\partial{f(x,t)}}{\partial{x}} $

Voici la question : montrer pour tout t strictement positif, qu'il existe un polynôme P(x) dépendant de t tel que : f(x,t) = exp(x).P(x)

Pourriez-vous me donner une indication svp, merci.

D'où vient cette question ?
Je vois mal comment écrire $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt n\times x^n}{n!} $ sous la forme $ e^x P(x) $ par exemple