Applications lineaires

[Julienprepa2]

Bonjour! J’ai un exo qui m’a posé probleme le voici: n est un entier naturel non nul. E est un IK ev de dimension n. f est un endomorphisme de E tel que f^n est l’endomorphisme nul et f^(n-1) ne l’est pas. Il existe un vecteur x0 de E tel que (x0,f(x0),.....,f^(n-1)(x0)) est une famille libre dans E. montrer que cette famille est une base de E, on la notera B

Jusqu’ici tout va bien (famille libre maximale)
Mais la je bloque

Montrer que :
{g€L(E)/g o f = f o g}=$ {a_0Id_E+a_1f+....+a_{n-1}f^{n-1}/(a_0....a_n)€K^n} $.
Pour traiter de cette question on pourra decomposer g(x0) dans B

Voila merci de m’aider

[Hypophysaire]

Salut.

Il faut montrer que g et ton polynome P en f coincident sur la base B. Comme B est base de E, g(xo) s'écrit comme la somme des ak f^k(xo)=P(xo). Et ensuite il faut montrer que gof^k(xo)=Pof^k(xo) pour tout k dans 0 à n-1 ce qui permettra de conclure.

[Julienprepa2]

Ok jsuis pas sur d’avoir tout saisi mais je vais voir ce que ça donne, merci!

[JeanN]

Bonjour! J’ai un exo qui m’a posé probleme le voici: n est un entier naturel non nul. E est un IK ev de dimension n. f est un endomorphisme de E tel que f^n est l’endomorphisme nul et f^(n-1) ne l’est pas. Il existe un vecteur x0 de E tel que (x0,f(x0),.....,f^(n-1)(x0)) est une famille libre dans E. montrer que cette famille est une base de E, on la notera B

Jusqu’ici tout va bien (famille libre maximale)
Mais la je bloque

Montrer que :
{g€L(E)/g o f = f o g}=$ {a_0Id_E+a_1f+....+a_{n-1}f^{n-1}/(a_0....a_n)€K^n} $.
Pour traiter de cette question on pourra decomposer g(x0) dans B

Voila merci de m’aider

Je suppose que c'est l'inclusion directe qui te pose problème.
Prends g qui commute avec f.
Ensuite, décompose g(x0) sur la base B : g(x0)=a0.x0+a1.f(x0)+...+a_{n-1}.f^{n-1}(x0)
Enfin, vérifie que pour tout e dans E, g(e)=a0.e+a1.f(e)+.... par exemple en décomposant aussi e sur la base B (mais il y a d'autres façons de rédiger ça).

[Julienprepa2]

Bonsoir! Merci pour vos conseils, je ne sais pas si je suis bien parti mais voila ce que ça donne:
Pour tout e € B , e= b0x0+ b1f(x0)+b2f^2(x0)+...+bn-1f^n-1(x0)
Donc g(x)=b0g(x0) +b1g(f(x0))+...+bn-1g(f^n-1(x0))

Suis je sur la bonne voie ou pas?

[Julienprepa2]

On peut aussi interchangé les f^k avec les g puisque gof=fog

[Julienprepa2]

J’arrive donc a (b0idE +b1f+....+bn-1f^n-1)(g(x0))
C’est bien ca?

[JeanN]

J’arrive donc a (b0idE +b1f+....+bn-1f^n-1)(g(x0))
C’est bien ca?

Essaye plutôt de regarder à quoi tu dois arriver.
Pour montrer que A=B, tu peux partir de A et arriver à B, partir de B et arriver à A ou partir de A, partir de B et arriver à un même C

[Inversion]

Voilà ça me semble correct et ensuite tu n'as plus qu'à réutiliser la décomposition de g sur la base B, à développer et à réarranger les termes et tu as gagné il me semble. Juste une coquille dans ton message de 8:15 : g(e) et non g(x) à la deuxième ligne selon moi.