Bonsoir,
Soit (E) une eq.diff t.q $ 4xy''-2y'+9x^2y=0 $
Question : Quels sont les solutions sur R de (E) ?
J'ai trouvé les solutions sur $ ]0;\infty[ $ et $ ]-\infty;0[ $ mais pas en 0.
Eq. diff
Re: Eq. diff
Il te reste à voir à quelle condition une solution sur $ ]0,+\infty[ $ et une solution sur $ ]-\infty,0[ $ veulent bien se recoller en une solution (dérivable, a fortiori continue) sur $ \mathbb R $ tout entier.
Re: Eq. diff
Il faudrait d'abord donner une condition nécessaire de continuité en $0$, puis invoquer le théorème de la limite de la dérivée sur $\mathbb{R}_-^*$ et sur $\mathbb{R}_+^*$ :
Si $y$ est continue sur un intervalle $I$, dérivable sur $I \setminus \{x_0\}$ avec $x_0 \in I$, et :
- si $y'$ a une limite épointée finie $l$ en $x_0$, alors $y$ est dérivable en $x_0$ (ici on le sait) et dans ce cas $y'(x_0) = l$ ;
- si $y'$ a une limite épointée infinie en $x_0$, alors $y$ n'est pas dérivable en $x_0$ (ce qui est absurde dans notre cas, donc pas de solution sur $\mathbb{R}$).
On fait de même avec la dérivée seconde, puis dans un second temps on fait la synthèse.
Si $y$ est continue sur un intervalle $I$, dérivable sur $I \setminus \{x_0\}$ avec $x_0 \in I$, et :
- si $y'$ a une limite épointée finie $l$ en $x_0$, alors $y$ est dérivable en $x_0$ (ici on le sait) et dans ce cas $y'(x_0) = l$ ;
- si $y'$ a une limite épointée infinie en $x_0$, alors $y$ n'est pas dérivable en $x_0$ (ce qui est absurde dans notre cas, donc pas de solution sur $\mathbb{R}$).
On fait de même avec la dérivée seconde, puis dans un second temps on fait la synthèse.