inégalité factorielle

[babou2]

pour quelle condition sur t, on n^t < t! ? avec t>0 et n>1 des entiers naturels

[JeanN]

Peux-tu donner le contexte de ta question ?

[babou2]

je n'ai pas compris votre question ?

[GaBuZoMeu]

Dit autrement : pourquoi poses-tu cette question (celle de ton message initial) ?

[babou2]

Car j'en ai besoin pour une étape dans la solution d'un problème.

[bullquies]

$ \sqrt{2 \pi} t^{t+1/2} e^{-t} \leq t ! \leq e t^{t+1/2} e^{-t} $

Si $ n^t \leq \sqrt{2 \pi} t^{t+1/2} e^{-t} $ on est bons.

yapu qu'à prendre la racine t-eme pour avoir tous les t d'un côté et le n de l'autre

[GaBuZoMeu]

Car j'en ai besoin pour une étape dans la solution d'un problème.

Mais encore ? Quel problème ?

[JeanN]

pour quelle condition sur t, on n^t < t! ? avec t>0 et n>1 des entiers naturels

Par passage au logarithme puis comparaison avec une intégrale puis quelques inégalités (éventuellement assez grossières), tu peux montrer que si t>e*n, alors n^t <t! mais aussi que si n^t<t!, alors n/e<t.
De quoi as-tu besoin précisément car ta question est assez vague.

[babou2]

En effet j'en ai besoin pour le problème:
n^n^n^...^n (m fois) < n!!!...! (m fois) < n^n^n^...^n (m+1 fois)

[babou2]

avec n et m des entiers naturels tels que n>2 et m>0