Bonjour, j'ai du mal à comprendre l'intérêt de convergence et quand est-ce qu'on l'utilise. Pour justifier intégrabilité d'une fonction sur un intervalle ouvert, il faut montrer que l'intégrale converge absolument sur cet intervalle. Alors pourquoi est-ce que parfois on dit simplement "tel integrale converge" sans préciser si c'est absolument car alors on ne justifie pas bien l'existence de l'intégrale ?
Merci d'avance pour vos réponses
Convergence et convergence absolue pour justifier intégrabilité
Re: Convergence et convergence absolue pour justifier intégrabilité
peut être parce que la fonction est déja positive ?
pour une fonction f positive
f integrable si et seulement si son integrale converge
pour une fonction quelconque , si f est integrable alors son integrale sur un intervalle quelconque converge
mais la réciproque est fausse, dans ce cas on dit que F est une intégrale impropre convergente identique à dire : elle converge mais la fonction dans l'intégrale n'est pas integrable
exemple classique la fonction sinx/x
pour une fonction f positive
f integrable si et seulement si son integrale converge
pour une fonction quelconque , si f est integrable alors son integrale sur un intervalle quelconque converge
mais la réciproque est fausse, dans ce cas on dit que F est une intégrale impropre convergente identique à dire : elle converge mais la fonction dans l'intégrale n'est pas integrable
exemple classique la fonction sinx/x
Re: Convergence et convergence absolue pour justifier intégrabilité
Il y a deux notions bien distinctes:
(i) dire qu'une fonction f est intégrable sur un intervalle I, c'est dire que l'intégrale sur I de la valeur absolue de f converge.
(ii) dire que l'intégrale de f converge, c'est, en notant F une primitive de f, dire que F admet des limites finies aux bornes de I.
Dans le cours, on montre que (i) implique (ii). Pourquoi une telle distinction ? D'une part parce que c'est beaucoup plus simple d'étudier des fonctions positives (ce qui est le cas de |f|), en effet il suffit de majorer l'intégrale pour montrer son existence. D'autre part, parce que pour appliquer de nombreux théorèmes, comme des théorèmes d'interversion, il faut que la fonction soit intégrable, la convergence de l'intégrale ne suffit pas.
(i) dire qu'une fonction f est intégrable sur un intervalle I, c'est dire que l'intégrale sur I de la valeur absolue de f converge.
(ii) dire que l'intégrale de f converge, c'est, en notant F une primitive de f, dire que F admet des limites finies aux bornes de I.
Dans le cours, on montre que (i) implique (ii). Pourquoi une telle distinction ? D'une part parce que c'est beaucoup plus simple d'étudier des fonctions positives (ce qui est le cas de |f|), en effet il suffit de majorer l'intégrale pour montrer son existence. D'autre part, parce que pour appliquer de nombreux théorèmes, comme des théorèmes d'interversion, il faut que la fonction soit intégrable, la convergence de l'intégrale ne suffit pas.
Re: Convergence et convergence absolue pour justifier intégrabilité
Attention. Dans le programme de MP, les intégrandes ne sont pas forcément continues, mais continues par morceaux en général.Landstockman a écrit : ↑24 janv. 2019 18:33dire que l'intégrale de f converge, c'est, en notant F une primitive de f, dire que F admet des limites finies aux bornes de I.
La fonction $ x \mapsto \int_{x_0}^x f(t) \mathrm dt $ n'est donc pas nécessairement une primitive de $f$ et le théorème fondamental du calcul intégral n'est plus vrai.
Re: Convergence et convergence absolue pour justifier intégrabilité
Exact, on peut découper l'intégrale sur une subdivision associée à f.btsix a écrit : ↑24 janv. 2019 19:40Attention. Dans le programme de MP, les intégrandes ne sont pas forcément continues, mais continues par morceaux en général.Landstockman a écrit : ↑24 janv. 2019 18:33dire que l'intégrale de f converge, c'est, en notant F une primitive de f, dire que F admet des limites finies aux bornes de I.
La fonction $ x \mapsto \int_{x_0}^x f(t) \mathrm dt $ n'est donc pas nécessairement une primitive de $f$ et le théorème fondamental du calcul intégral n'est plus vrai.
Re: Convergence et convergence absolue pour justifier intégrabilité
D'accord, merci pour vos réponses!