Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

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btsix
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Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par btsix » sam. janv. 26, 2019 2:09 pm

Bonjour,
Il y a quelque chose que je n'ai pas compris à propos d'un item dans le programme de MP, section "Calcul différentiel > Applications de classe C1":
Si $ \Omega $ est connexe par arcs, caractérisation des fonctions constantes sur $\Omega$.
Démonstration pour $\Omega$ convexe.
Je suppose qu'il s'agit des fonctions différentiables dont la différentielle est nulle en tout point de $\Omega$.

Si je ne m'abuse, il existe une preuve courte pour le cas convexe, et une preuve pas trop longue pour le cas connexe par arcs. Mais dans aucun des cas on n'a besoin d'une hypothèse C1.
Modifié en dernier par btsix le sam. janv. 26, 2019 4:02 pm, modifié 1 fois.

Krik
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par Krik » sam. janv. 26, 2019 3:48 pm

En prépa, on montre l'inégalité des accroissements finis dans le cas des fonctions C1 (à l'aide d'une intégrale), d'où cette restriction (je pense).

Luckyos
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par Luckyos » sam. janv. 26, 2019 4:05 pm

En prépa la démonstration de ce résultat est basée sur l'égalité $ f(b)-f(a) = \int_{0}^{1}df(\gamma(t)).\gamma'(t)dt $ lorsque $ f $ est de classe $ C^1 $ avec $ \gamma:[0,1] \rightarrow E $ un chemin de classe $ C^1 $ entre $ a $ et $ b $.
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darklol
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par darklol » sam. janv. 26, 2019 4:16 pm

Si $ f $ est différentiable de différentielle nulle en tout point, elle est évidemment $ C^1 $.
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btsix
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par btsix » sam. janv. 26, 2019 4:53 pm

Merci pour vos réponses.
Krik a écrit :
sam. janv. 26, 2019 3:48 pm
En prépa, on montre l'inégalité des accroissements finis dans le cas des fonctions C1 (à l'aide d'une intégrale), d'où cette restriction (je pense).
Pas sûr que l'IAF version différentielle soit au programme.
Luckyos a écrit :
sam. janv. 26, 2019 4:05 pm
En prépa la démonstration de ce résultat est basée sur l'égalité $ f(b)-f(a) = \int_{0}^{1}df(\gamma(t)).\gamma'(t)dt $ lorsque $ f $ est de classe $ C^1 $ avec $ \gamma:[0,1] \rightarrow E $ un chemin de classe $ C^1 $ entre $ a $ et $ b $.
darklol a écrit :
sam. janv. 26, 2019 4:16 pm
Si $ f $ est différentiable de différentielle nulle en tout point, elle est évidemment $ C^1 $.
Donc si je comprends bien, ce qui est exigé par le programme, ce sont un résultat ($\Omega$ connexe par arcs) et deux démos différentes dans des cas particuliers :
1) $\Omega$ connexe par arcs de classe $C^1$ (en utilisant l'intégrale, sachant que f est automatiquement de classe $C^1$),
2) $\Omega$ convexe (via $t \mapsto f((1-t)a + tb)$) (d'après ce qui est mentionné).
Pourtant le 2e est un cas particulier du 1er.

darklol
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par darklol » sam. janv. 26, 2019 5:26 pm

Prouver le cas général (ouvert connexe par arcs) me semble non trivial en prépa étant donné qu’il faudrait par exemple d’abord montrer qu’un ouvert de R^n connexe par arcs est alors automatiquement connexe par lignes brisées. Je ne sais pas si c’est au programme de MP.
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darklol
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par darklol » sam. janv. 26, 2019 5:30 pm

Mais sinon oui 2) est bien un cas particulier de 1), après le résultat et la démo de 1) sont pas forcément super utiles si ce n’est pour montrer le cas général.
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Landstockman
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par Landstockman » sam. janv. 26, 2019 5:35 pm

On peut raisonner sur des boules ouvertes incluses dans $ \Omega $
Comme elles sont convexes, $ f $ est constante sur chaque boule ouverte, et comme $ \Omega $ est connexe, on peut prendre des boules qui s'intersectent. à rédiger mieux évidemment.

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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par matmeca_mcf1 » sam. janv. 26, 2019 5:47 pm

C'est le principe de la preuve quand on veut monter le résultat en utilisant la définition de connexe et non celle de connexe par arcs. Sachant que "connexe par arcs" implique connexe. On montre ainsi que
$$
\{x\in \Omega:f(x)=c\}
$$
est à la fois un ouvert et un fermé de $ \Omega $ et est donc soit le vide soit $ \Omega $ tout entier par définition de "connexe".
Mais la notion de connexité n'est pas au programme de prépa. Seule celle de "connexité par arcs" l'est. Après, il n'est pas très difficile de montrer que $ \Omega $ connexe par arcs implique "toute partie à la fois ouverte et fermé de $ \Omega $ est soit le vide soit $ \Omega $ tout entier".
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par Luckyos » sam. janv. 26, 2019 5:55 pm

Je pensais au cas convexe surtout pour mon intégrale mais c'est pareil que ta fonction auxiliaire à part que t'as pas besoin d'une fonction $ C^1 $.

Dans le cas général on peut montrer que pour $ a\in \Omega $, $ E_a = \{x\in \Omega | f(x) = f(a)\} $ est fermé et ouvert en utilisant qu'une boule est convexe. Donc $ E_a = \Omega $ puisque $ \Omega $ est connexe (il est connexe par arcs). (grillé)

Sans utiliser la connexité, on peut montrer qu'entre $ a $ et $ b $ il existe toujours un chemin $ C^1 $ dans un ouvert connexe par arcs (alors qu'à priori on sait seulement qu'il existe un chemin continu). Du coup on peut toujours utiliser l'intégrale mais l'histoire du chemin $ C^1 $ c'est pas trivial (besoin de Weierstrass).
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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par btsix » sam. janv. 26, 2019 5:56 pm

matmeca_mcf1 a écrit :
sam. janv. 26, 2019 5:47 pm
$ \Omega $ connexe par arcs implique "toute partie à la fois ouverte et fermé de $ \Omega $ est soit le vide soit $ \Omega $ tout entier".
Indication :
SPOILER:
Raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe un ouvert fermé $A$ de $\Omega$ différent du vide et de $\Omega$, et considérer l'application indicatrice de $A$ définie sur $\Omega$.

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Re: Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

Message par darklol » sam. janv. 26, 2019 6:00 pm

Luckyos a écrit :
sam. janv. 26, 2019 5:55 pm
Du coup on peut toujours utiliser l'intégrale mais l'histoire du chemin $ C^1 $ c'est pas trivial (besoin de Weierstrass).
Comme j’ai dit on peut faire connexe par lignes brisées, ça marche aussi et c’est démontrable en prépa facilement.
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