Calcul différentiel - caractérisation des fonctions constantes

[btsix]

$ \Omega $ connexe par arcs implique "toute partie à la fois ouverte et fermé de $ \Omega $ est soit le vide soit $ \Omega $ tout entier".

Indication :

SPOILER:

Raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe un ouvert fermé $A$ de $\Omega$ différent du vide et de $\Omega$, et considérer l'application indicatrice de $A$ définie sur $\Omega$.

[darklol]

Du coup on peut toujours utiliser l'intégrale mais l'histoire du chemin $ C^1 $ c'est pas trivial (besoin de Weierstrass).

Comme j’ai dit on peut faire connexe par lignes brisées, ça marche aussi et c’est démontrable en prépa facilement.