Inégalité puissance

[Bidoof]

Salut à tous !

Pour étudier une famille sommable j'ai besoin d'une inégalité du genre : $a^p + b^p \le (a+b)^p$
L'exo c'est l'étude de la sommabilité de $\frac{1}{(m^{p} + n^{p})^{q}}$.
Par équivalence il suffit d'étudier $\frac{1}{(m^{pq} + n^{pq})}$.
Par convexité si $pq \le 2$ c'est bon.
Réciproquement j'aimerais bien conclure avec une inégalité !

Quelqu'un l'a dans sa poche ? Ce serait super !

Merci .

[matmeca_mcf1]

Une première inégalité est obtenue par convexité. Quand $ a,b>0 $ et $ p>1 $, on a
$$
(a+b)^p\leq 2^{p-1}(a^p+b^p)
$$

De même, par concavité, quand $ a,b>0 $ et $ 0<p<1 $, on a
$$
2^{p-1}(a^p+b^p)\leq(a+b)^p
$$

Enfin, on a besoin de l'inégalité suivante, valable quand $ a,b>0 $ et $ 0<p<1 $, on a
$$
(a+b)^p\leq a^p+b^p.
$$
Elle s'obtient en supposant $ a\geq b $, en divisant de deux côtés par $ a^p $, en posant $ x=a/b $ puis en faisant l'étude de la fonction $ x\mapsto \ln(1+x^p)-p\ln(1+x) $ sur $ [0,1 $.

On en déduit l'inégalité inverse pour $ p<1 $ en remplaçant $ p $ par $ 1/p $. Où on refait l'étude de la même fonction pour $ p>1 $. On obtient quand $ a,b>0 $ et $ p>1 $ que
$$
a^p+b^p\leq(a+b)^p.
$$

[Bidoof]

Bonjour merci !