est elle une bijection ?

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est elle une bijection ?

Message par claudia00 » 28 janv. 2019 22:12

bonsoir, je voulais vous demander est ce que cette application est une bijection ou pas
F : N² --> N
(x,y) --> F(x,y)= ux + vy
avec u et v deux entiers qui appartiennent à N fixés dès le début ?
pour la surjectivité, je pensais à Bezout

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Re: est elle une bijection ?

Message par Shredinger » 28 janv. 2019 22:22

Si tu prends u=v t'as F(x,y)=u(x+y) or plusieurs couples (x,y) peuvent te donner la même somme x+y. Je sais pas si c'est que tu voulais par contre
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Re: est elle une bijection ?

Message par matmeca_mcf1 » 28 janv. 2019 22:28

Pour utiliser Bezout, il faudrait travailler dans $ \mathbb{Z} $ et non dans $ \mathbb{N} $. Ensuite cette application ne sera jamais injective puisque $ F(v,0)=F(0,u)=uv $ (traiter le cas pathologique $ u=v=0 $ à part).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: est elle une bijection ?

Message par claudia00 » 28 janv. 2019 22:29

d'accord merci ! j ai oublié le fait qu il faut travailler dans Z lol

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Re: est elle une bijection ?

Message par GaBuZoMeu » 28 janv. 2019 22:31

Pas surjective si $ u $ et $ v $ sont $ >1 $, et jamais injective : $ u\times v+v\times 0 = u\times 0+v\times u $.

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Re: est elle une bijection ?

Message par Nabuco » 28 janv. 2019 23:13

Si on travaille dans Z, elle est surjective si et seulement si u et v sont premiers entre eux par Bezout

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Re: est elle une bijection ?

Message par Nicolas Patrois » 29 janv. 2019 07:36

Et dans $ \mathbb{N} $, elle n’est même pas surjective si $ u=2 $ et $ v=3 $ (qui sont pourtant premiers entre eux).
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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Re: est elle une bijection ?

Message par GaBuZoMeu » 29 janv. 2019 08:11

Euh, N. P., deux messages plus haut ... ;)

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Re: est elle une bijection ?

Message par Nicolas Patrois » 29 janv. 2019 17:34

Oups, pas vu. :oops:
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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