Preuve concise

[haw7ski]

$$E=|(e^{z/n})^n-(1+z/n)^n|=|e^{z/n}-1-z/n||\sum \limits_{k=0}^{n-1} e^{kz/n}(1+z/n)^{n-1-k}|\leq A_n\times \sum\limits_{k=0}^{n-1}|e^{kz/n}||1+z/n|^{n-1-k}$$ $$E\leq A_n \times \sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{|kz/n|}(1+|z/n|)^{n-1-k} \leq A_n \times \sum\limits_{k=0}^{n-1} e^{|kz/n|}\times e^{|(n-1-k) z/n|}$$

Tu conclus quant à la convergence uniforme en se ramenant à un compact pour majorer An et puis la somme qui est nulle c'est ça ?

[Siméon]

$ $Tant que j'y pense, pour aller encore plus vite on peut aussi obtenir directement $\left|e^z - \left(1+\frac zn\right)^n\right| \leqslant \frac{|z|^2}{n}e^{|z|}
$ en appliquant l'inégalité des acroissements finis à $t \mapsto e^{-tz}\left(1+\frac {tz}n\right)^n$ entre $0$ et $1$. Une pierre deux coups !