Question sur un exo de polynomes en sup
Question sur un exo de polynomes en sup
Bonjour/Bonsoir,
Alors voilà j'ai une question sur un exo de polynôme, voici l'énoncé:
Soit $ \Theta $ dans $ \mathbb{R} $, et $ n dans \mathbb{N}^* $
Calculer le reste de la divison de $ A = (Xsin\Theta + cos\Theta)^n $ par $ B = X^2 +1 $
J'ai commencer par chercher les raciens de B, et je trouve directement i et -i. J'ai fait ça pour utiliser une conséquence d'un theorème du cours qui dit que le reste de la D.E. de P par X-a est le polynome constant P(a)
Ici, Je peux mettre B sous la forme $ B = X^2 +1 = (X-i)(X+i) $
Du coup, j'ai evalué A en i et en -i, ce qui me donne comme reste : $ e^{in\Theta } $ et $ e^{-in\Theta } $
Ma question étant : dois-je faire la somme des restes ? Auquel cas le reste total serait de la forme $ 2cos(n\Theta ) $ ?
Ou alors j'ai totalement faux? Enfin j'en sais rien, merci d'avance pour vos réponses!
Alors voilà j'ai une question sur un exo de polynôme, voici l'énoncé:
Soit $ \Theta $ dans $ \mathbb{R} $, et $ n dans \mathbb{N}^* $
Calculer le reste de la divison de $ A = (Xsin\Theta + cos\Theta)^n $ par $ B = X^2 +1 $
J'ai commencer par chercher les raciens de B, et je trouve directement i et -i. J'ai fait ça pour utiliser une conséquence d'un theorème du cours qui dit que le reste de la D.E. de P par X-a est le polynome constant P(a)
Ici, Je peux mettre B sous la forme $ B = X^2 +1 = (X-i)(X+i) $
Du coup, j'ai evalué A en i et en -i, ce qui me donne comme reste : $ e^{in\Theta } $ et $ e^{-in\Theta } $
Ma question étant : dois-je faire la somme des restes ? Auquel cas le reste total serait de la forme $ 2cos(n\Theta ) $ ?
Ou alors j'ai totalement faux? Enfin j'en sais rien, merci d'avance pour vos réponses!
2018 - 2019 : PCSI1 - Lycée Thiers
2019 - 2020 : PSI* - Lycée Thiers
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Re: Question sur un exo de polynomes en sup
en fait si tu prends R le reste R(+-i)=A(+-i). Comme R est un polynôme de degré au plus 1, cela suffit pour conclure (si A=aX+b, alors ai+b=exp(intheta) et -ai+b=exp(-intheta) suffit de résoudre le système ensuite.
Re: Question sur un exo de polynomes en sup
D'accord, merci beaucoup! Mais si pour un autre probleme, j'ai plus de racines? Est-ce que j'aurais la possibilité d'utiliser la meme méthode, et donc de trouver un système a plusieurs d'equation et plusieurs d'inconnues en fonction du degré maximum de R justement?
2018 - 2019 : PCSI1 - Lycée Thiers
2019 - 2020 : PSI* - Lycée Thiers
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Re: Question sur un exo de polynomes en sup
Si toutes les racines du polynôme par lequel tu divises sont simples, oui.
Sinon, c'est plus technique et il faut dériver plusieurs fois (en évaluant à chaque fois) pour les racines multiples.
Sinon, c'est plus technique et il faut dériver plusieurs fois (en évaluant à chaque fois) pour les racines multiples.
X2018