Question sur un exo de polynomes en sup

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Question sur un exo de polynomes en sup

Message par Dofell » 04 févr. 2019 20:08

Bonjour/Bonsoir,

Alors voilà j'ai une question sur un exo de polynôme, voici l'énoncé:

Soit $ \Theta $ dans $ \mathbb{R} $, et $ n dans \mathbb{N}^* $
Calculer le reste de la divison de $ A = (Xsin\Theta + cos\Theta)^n $ par $ B = X^2 +1 $

J'ai commencer par chercher les raciens de B, et je trouve directement i et -i. J'ai fait ça pour utiliser une conséquence d'un theorème du cours qui dit que le reste de la D.E. de P par X-a est le polynome constant P(a)

Ici, Je peux mettre B sous la forme $ B = X^2 +1 = (X-i)(X+i) $

Du coup, j'ai evalué A en i et en -i, ce qui me donne comme reste : $ e^{in\Theta } $ et $ e^{-in\Theta } $

Ma question étant : dois-je faire la somme des restes ? Auquel cas le reste total serait de la forme $ 2cos(n\Theta ) $ ?

Ou alors j'ai totalement faux? Enfin j'en sais rien, merci d'avance pour vos réponses!
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Re: Question sur un exo de polynomes en sup

Message par Nabuco » 04 févr. 2019 20:13

en fait si tu prends R le reste R(+-i)=A(+-i). Comme R est un polynôme de degré au plus 1, cela suffit pour conclure (si A=aX+b, alors ai+b=exp(intheta) et -ai+b=exp(-intheta) suffit de résoudre le système ensuite.

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Re: Question sur un exo de polynomes en sup

Message par Dofell » 04 févr. 2019 20:29

D'accord, merci beaucoup! Mais si pour un autre probleme, j'ai plus de racines? Est-ce que j'aurais la possibilité d'utiliser la meme méthode, et donc de trouver un système a plusieurs d'equation et plusieurs d'inconnues en fonction du degré maximum de R justement?
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Re: Question sur un exo de polynomes en sup

Message par Luckyos » 04 févr. 2019 21:43

Si toutes les racines du polynôme par lequel tu divises sont simples, oui.

Sinon, c'est plus technique et il faut dériver plusieurs fois (en évaluant à chaque fois) pour les racines multiples.
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