Math : Terminale : inégalités

[Nabuco]

C est bien d arriver à 2/abc, après connais tu l inégalité arithmético géométrique ? Elle permettrai de conclure ici

[clavierstyloez]

Salut, si tu connais l'IAG, un moyen de faire est le suivant:
l'inégalité est équivalente à (a+1)*(b+1)*(c+1) >= 64abc
On homogénéise: cela équivaut à (2a+b+c)*(2b+a+c)*(2c+a+b) >= 64abc
Maintenant on applique l'IAG sur chacun des trois facteurs et on obtient le résultat (par exemple 2a+b+c >= 4*(a^2*b*c)^(1/4))

[oty20]

$ f(x)=\ln(1+\frac{1}{x}) $ ; le cas d'égalité est $ a=b=c=\frac{1}{3} $ il peut être intéressant de comparer$ f $ avec sa tangente au point $ x=\frac{1}{3} $ c'est à dire avec $ y(x)=f'(\frac{1}{3})(x-\frac{1}{3})+f(\frac{1}{3}) $

Comme $ f'(x)=(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x})=\frac{-1}{x(x+1)} $ il vient que

Donc $ y(x)=\frac{-9}{4} (x-\frac{1}{3})+\ln(4) $ on intuite que :


$ f(x)=\ln(1+\frac{1}{x})\geq \frac{3}{4}-\frac{9x}{4}+\ln(4) $ on peut étudier la fonction

$ h(x)=f(x)-y(x) $ tableau de variation et on montre que cette inégalité est vraie, https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 2B%5Cln(4) le confirme .


et c'est fini

$ f(a)+f(b)+f(c) \geq \frac{9}{4}-\frac{9}{4}(a+b+c) +\ln(64)=\ln(64) $ et c'est fini....