fonction croissante convergente

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Re: fonction croissante convergente

Message par prepamath » 11 févr. 2019 00:19

Colix a écrit :
11 févr. 2019 00:18
si sin(x²)/x est décroissante, alors -sin(x²)/x est croissante, ça t'arrive de lire les messages en entier ?
Oui, et toi ? Aucune des deux n'est monotone !!!!!!

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Re: fonction croissante convergente

Message par Luckyos » 11 févr. 2019 01:00

Pour répondre à la question initiale, on peut imaginer une fonction $ f $ de classe $ C^\infty $ telle que $ f $ soit nulle partout à part sur les $ [n, n+\frac 1 {n^3}] $ où elle fait des pics ($ C^\infty $) qui montent jusqu'à $ n $.

Pour construire les pics, inspire-toi de ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ ... rt_compact

Puisque $ f $ est de classe $ C^\infty $, positive, intégrable et non bornée, $ x\mapsto\int_0^xf(t)dt $ est un contre-exemple.
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Re: fonction croissante convergente

Message par zede » 11 févr. 2019 06:27

Est-elle monotone ? :(


Cette question a déchaîné les passions ! :)
(hum)


Moi, je suis nul en maths, mais je répondrais oui, et je tenterais de le démontrer par l'absurde.

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Re: fonction croissante convergente

Message par Luckyos » 11 févr. 2019 06:47

zede a écrit :
11 févr. 2019 06:27
Est-elle monotone ? :(
C'est pas pour faire joli que je dis que $ f $ est positive.
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Re: fonction croissante convergente

Message par zede » 11 févr. 2019 07:17

Rhooo: que souhaites-tu en me répondant sur ce ton, Luckyos ? :(


Sinon, joli,
je n'avais pas compris initialement que tu ne considères pas f mais son intégrale.

(et même très joli puisque j'ai compris l'idée, belle performance, crois-moi ^^)

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Re: fonction croissante convergente

Message par prepamath » 11 févr. 2019 12:21

Luckyos a écrit :
11 févr. 2019 01:00
Pour répondre à la question initiale, on peut imaginer une fonction $ f $ de classe $ C^\infty $ telle que $ f $ soit nulle partout à part sur les $ [n, n+\frac 1 {n^3}] $ où elle fait des pics ($ C^\infty $) qui montent jusqu'à $ n $.

Pour construire les pics, inspire-toi de ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ ... rt_compact

Puisque $ f $ est de classe $ C^\infty $, positive, intégrable et non bornée, $ x\mapsto\int_0^xf(t)dt $ est un contre-exemple.
Merci !!! :wink:

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Re: fonction croissante convergente

Message par oty20 » 11 févr. 2019 12:30

il s'agit essentiellement d'un contre exemple d’intégrabilité vue en cours $ \lim_{x \to \infty} \int_{0}^{x} f'(t) dt = l \in \mathbb{R} \implies \lim_{x \to \infty} f'(x)=0~~ ? $

le contre exemple souvent donné ressemble à la construction qui vous a été proposé sauf que en prépas c'est plutôt des triangles qui sont utilisés, pour la rendre suffisamment ''smooth'' on remplace les triangles par des fonctions tests
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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