Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

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Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

Message par Hypophysaire » 12 févr. 2019 17:31

Bonjour,

Je cherche à dénombrer le nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1}).
J'ai raisonné par libertés des colonnes mais dès la 3ème colonne, cela devient assez compliqué ou de faire les cas n= 2 et 3 pour généraliser sans succès.

Y'aurait-il une autre manière de procéder ?
Merci

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Re: Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

Message par matmeca_mcf1 » 12 févr. 2019 18:35

Est-ce que l'inverse doit aussi être dans "$ M_n(\{-1,1\}) $" (en général, on met un anneau ou un corps entre parenthèse après M_n)? Ou est-ce le nombre de matrice inversibles dans $ M_n(\mathbb{R}) $ dont tous les coefficients appartiennent à $ \{-1,+1\} $. La différence est que dans le deuxième cas, on ne demande pas à ce que l'inverse ait des coefficients dans $ \{-1,+1\} $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

Message par Hypophysaire » 12 févr. 2019 19:00

Je parlais plutôt du 2ème cas

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Re: Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

Message par GaBuZoMeu » 12 févr. 2019 23:04

Le nombre de $ (-1,1) $ matrices inversibles de taille $ n $ est, sauf erreur, $ 2^{2n-1} $ fois le nombre de $ (0,1) $-matrices inversibles de taille $ n-1 $ (idée : se ramener au cas où la première ligne et la première colonne sont remplies uniquement par des $ 1 $). Pour $ n=4 $, ça ferait $ 2^7\times 174=22272 $

Or il semble que l'on n'ait pas de formule générale pour compter les $ (0,1) $-matrices inversibles : voir OEIS. Le problème est donc assez infaisable !

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Re: Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

Message par Hypophysaire » 13 févr. 2019 18:10

D'accord merci

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Re: Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

Message par GaBuZoMeu » 13 févr. 2019 18:52

Une question, Hypophysaire : pourquoi t'intéressais-tu à ce problème ?

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Re: Nombres de matrices inversibles dans Mn({-1,1})

Message par Hypophysaire » 14 févr. 2019 19:11

C'est juste une question que je m'étais posé dans ma tête :mrgreen:

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