Rayon de convergence d'une puissance de f

[Mosalahmoh]

Salut .Peut on connaitre le rayon de convergence de f^2 si on connait celui de f ? Merci.

[matmeca_mcf1]

Quel est le contexte? Vous parlez du rayon de convergence d'une série entière?

[Mosalahmoh]

Quel est le contexte? Vous parlez du rayon de convergence d'une série entière?

Oui .Désolé j'aurais du expliquer mieux le contexte .

[matmeca_mcf1]

Le rayon de convergence de la série entière de $ f^2 $ sera égal ou plus grand que celui de la série entière de $ f $.

[bullquies]

Comment definirait-on f^n(x) si |x| est plus grand que le rayon de convergence de f ?

[matmeca_mcf1]

Comment definirait-on f^n(x) si |x| est plus grand que le rayon de convergence de f ?

Par prolongement analytique. Le concept est hors-programme en prépa. Mais, si on a la série entière du carré, il est possible que son rayon de convergence soit plus grand que celui de la série entière de la fonction. Si on a l'habitude de manipuler les fonctions holomorphes, et en particulier le logarithme complexe (qui est holomorphe sur $ \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^- $), il est aisé de trouver un exemple sans même faire une seul calcul. En particulier
$$
x\mapsto\sqrt{1+x}
$$
a un développement en série entière sur $ \mathopen{\rbrack}-1,+1\mathclose{\lbrack} $. Je peux le démontrer sans calcul avec l'analyse complexe et la théorie des fonctions holomorphes. C'est évidemment hors-programme en prépa. Mais il est très est certainement faisable de le montrer avec les outils de prépa moyennant calculs. Le carré de cette fonction est un polynôme de degré 1 et a un développement en série entière fini donc qui converge sur $ \mathbb{R} $ tout entier.

[Luckyos]

Mais il est très est certainement faisable de le montrer avec les outils de prépa moyennant calculs.

On peut même dire d'après le cours, c'est explicitement au programme (en MP en tout cas).