Rayon de convergence d'une puissance de f
Rayon de convergence d'une puissance de f
Salut .Peut on connaitre le rayon de convergence de f^2 si on connait celui de f ? Merci.
2018-2019 : mp*
2019-........ : X
2019-........ : X
Re: Rayon de convergence d'une puissance de f
Quel est le contexte? Vous parlez du rayon de convergence d'une série entière?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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Re: Rayon de convergence d'une puissance de f
Oui .Désolé j'aurais du expliquer mieux le contexte .matmeca_mcf1 a écrit : ↑16 févr. 2019 16:54Quel est le contexte? Vous parlez du rayon de convergence d'une série entière?
2018-2019 : mp*
2019-........ : X
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Re: Rayon de convergence d'une puissance de f
Le rayon de convergence de la série entière de $ f^2 $ sera égal ou plus grand que celui de la série entière de $ f $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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Re: Rayon de convergence d'une puissance de f
Comment definirait-on f^n(x) si |x| est plus grand que le rayon de convergence de f ?
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Rayon de convergence d'une puissance de f
Par prolongement analytique. Le concept est hors-programme en prépa. Mais, si on a la série entière du carré, il est possible que son rayon de convergence soit plus grand que celui de la série entière de la fonction. Si on a l'habitude de manipuler les fonctions holomorphes, et en particulier le logarithme complexe (qui est holomorphe sur $ \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^- $), il est aisé de trouver un exemple sans même faire une seul calcul. En particulier
$$
x\mapsto\sqrt{1+x}
$$
a un développement en série entière sur $ \mathopen{\rbrack}-1,+1\mathclose{\lbrack} $. Je peux le démontrer sans calcul avec l'analyse complexe et la théorie des fonctions holomorphes. C'est évidemment hors-programme en prépa. Mais il est très est certainement faisable de le montrer avec les outils de prépa moyennant calculs. Le carré de cette fonction est un polynôme de degré 1 et a un développement en série entière fini donc qui converge sur $ \mathbb{R} $ tout entier.
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Re: Rayon de convergence d'une puissance de f
On peut même dire d'après le cours, c'est explicitement au programme (en MP en tout cas).matmeca_mcf1 a écrit : ↑16 févr. 2019 20:20Mais il est très est certainement faisable de le montrer avec les outils de prépa moyennant calculs.
X2018