Inegalité
Inegalité
Salut . Mon amis en Mpsi m'a demandé de montré que (e^x+e^(-x))/2<=e((x^2)/2)... Mais j'ai peut pas pu montrer cette inegalité sans serie entiére .Merci.
Dernière modification par Mosalahmoh le 16 févr. 2019 23:27, modifié 1 fois.
2018-2019 : mp*
2019-........ : X
2019-........ : X
Re: Inegalité
Normalement en dérivant 6 fois et etudiant les variations successives des dérivées on peut conclure.
Re: Inegalité
On peut le faire en passant au log et en dérivant deux fois. Les fonctions trigonométriques hyperboliques sont-elles au programme de cpge?
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SPOILER:
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Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Inegalité
l'inégalité est invariante par changement de variable $ x \to -x $ , il suffit de traiter le cas $ x\geq 0 $
on pose $ h(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}} (e^{-x}+e^{x}) $
il suffit de montrer que $ h(x) \leq h(0) $
$ h'(x)=(-x-\frac{x^{2}}{2})'e^{-\frac{x^{2}}{2}-x} +(x-\frac{x^{2}}{2})'e^{x-\frac{x^{2}}{2}} \\
~~~~~~~=(-1-x)e^{-\frac{x^{2}}{2}-x} + (1-x)e^{x-\frac{x^{2}}{2}} = e^{-\frac{x^{2}}{2}} g(x) $ avec
$ g(x)=(1-x)e^{x}-(1+x)e^{-x} $ on veut montrer que
si $ x \geq 1 $ $ h'(x) \leq 0 $ il suffit de montrer qu'elle le reste même pour $ x \in [0,1[ $.
Soit $ x\in [0,1[ $ , $ g(x) \leq 0 $ est équivalent à : $ e^{2x} \leq \frac{1+x}{1-x} $ on sent bien que cela à de forte chance d’être vrai car pour $ x\to 1^{-} $ le membre de droite tend vers l'infinie tandis que le membre de gauche reste bornée.
la dernière inégalité est équivalente à $ f(x)=2x+\ln(1-x)-\ln(1+x) \leq 0 $
$ f'(x)=2-\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=2- \frac{2}{1-x^{2}}=2(1-\frac{1}{1-x^{2}}) \leq 0 $
et donc $ f(x) \leq f(0) $...
EDIT : oups j'ai été devancer
on pose $ h(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}} (e^{-x}+e^{x}) $
il suffit de montrer que $ h(x) \leq h(0) $
$ h'(x)=(-x-\frac{x^{2}}{2})'e^{-\frac{x^{2}}{2}-x} +(x-\frac{x^{2}}{2})'e^{x-\frac{x^{2}}{2}} \\
~~~~~~~=(-1-x)e^{-\frac{x^{2}}{2}-x} + (1-x)e^{x-\frac{x^{2}}{2}} = e^{-\frac{x^{2}}{2}} g(x) $ avec
$ g(x)=(1-x)e^{x}-(1+x)e^{-x} $ on veut montrer que
si $ x \geq 1 $ $ h'(x) \leq 0 $ il suffit de montrer qu'elle le reste même pour $ x \in [0,1[ $.
Soit $ x\in [0,1[ $ , $ g(x) \leq 0 $ est équivalent à : $ e^{2x} \leq \frac{1+x}{1-x} $ on sent bien que cela à de forte chance d’être vrai car pour $ x\to 1^{-} $ le membre de droite tend vers l'infinie tandis que le membre de gauche reste bornée.
la dernière inégalité est équivalente à $ f(x)=2x+\ln(1-x)-\ln(1+x) \leq 0 $
$ f'(x)=2-\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=2- \frac{2}{1-x^{2}}=2(1-\frac{1}{1-x^{2}}) \leq 0 $
et donc $ f(x) \leq f(0) $...
EDIT : oups j'ai été devancer
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .