Inegalité

[Mosalahmoh]

Salut . Mon amis en Mpsi m'a demandé de montré que (e^x+e^(-x))/2<=e((x^2)/2)... Mais j'ai peut pas pu montrer cette inegalité sans serie entiére .Merci.

[Nabuco]

Normalement en dérivant 6 fois et etudiant les variations successives des dérivées on peut conclure.

[Mosalahmoh]

Normalement en dérivant 6 fois et etudiant les variations successives des dérivées on peut conclure.

? tu rigole ?

[matmeca_mcf1]

On peut le faire en passant au log et en dérivant deux fois. Les fonctions trigonométriques hyperboliques sont-elles au programme de cpge?

Indice:

SPOILER:

Posez
$$
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\\
x\mapsto x^2/2-\ln(\mathrm{ch}(x))
$$
et étudier la fonction.

Solution

SPOILER:

La fonction $ f $ est paire et vérifie $ f(0)=0 $. De plus.
$$
f'(x)=x-\mathrm{th}(x)\\
f''(x)=\mathrm{th}^2(x)
$$
Donc, $ x\geq0 $ implique $ f'(x)\geq f'(0)=0 $. Donc, $ x\geq0 $ implique $ f(x)\geq f(0)=0 $. Comme $ f $ est paire,
on a pour tout $ x $ dans $ \mathbb{R} $ que $ f(x)\geq 0 $.

[oty20]

l'inégalité est invariante par changement de variable $ x \to -x $ , il suffit de traiter le cas $ x\geq 0 $



on pose $ h(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}} (e^{-x}+e^{x}) $

il suffit de montrer que $ h(x) \leq h(0) $


$ h'(x)=(-x-\frac{x^{2}}{2})'e^{-\frac{x^{2}}{2}-x} +(x-\frac{x^{2}}{2})'e^{x-\frac{x^{2}}{2}} \\
~~~~~~~=(-1-x)e^{-\frac{x^{2}}{2}-x} + (1-x)e^{x-\frac{x^{2}}{2}} = e^{-\frac{x^{2}}{2}} g(x) $ avec
$ g(x)=(1-x)e^{x}-(1+x)e^{-x} $ on veut montrer que
si $ x \geq 1 $ $ h'(x) \leq 0 $ il suffit de montrer qu'elle le reste même pour $ x \in [0,1[ $.

Soit $ x\in [0,1[ $ , $ g(x) \leq 0 $ est équivalent à : $ e^{2x} \leq \frac{1+x}{1-x} $ on sent bien que cela à de forte chance d’être vrai car pour $ x\to 1^{-} $ le membre de droite tend vers l'infinie tandis que le membre de gauche reste bornée.


la dernière inégalité est équivalente à $ f(x)=2x+\ln(1-x)-\ln(1+x) \leq 0 $

$ f'(x)=2-\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=2- \frac{2}{1-x^{2}}=2(1-\frac{1}{1-x^{2}}) \leq 0 $

et donc $ f(x) \leq f(0) $...


EDIT : oups j'ai été devancer