Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

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haw7ski
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Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par haw7ski » mar. févr. 19, 2019 1:40 am

Bonsoir,

On peut montrer que si $ P_{n} $ une suite de fonctions polynomiales converge uniformément vers $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ alors f est une fonction polynôme. En effet : $ \exists N\in\mathbb{N} $ tq $ \forall n\geq N \forall x\in \mathbb{R} \left | P_{n}(x)-P_{N}(x) \right |\leq 1 $. Ainsi, $ P_{N}-P_{n} $ est une fonction polynôme bornée donc constante. Par passage à la limite on voit que f est une fonction polynomiale. Mais cela, montre que l'ensemble des fonctions polynomiales ( R[X] identifié à C°(R,R)) est fermé alors que c'est absurde par le théorème de Weierstrass ?.. J'aimerais savoir l'erreur dans mon raisonnement ..

Merci

Luckyos
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par Luckyos » mar. févr. 19, 2019 2:13 am

J'ai pas l'impression que le théorème de Weierstrass parle de fonctions définies sur $ \mathbb R $ tout entier ;)
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haw7ski
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par haw7ski » mar. févr. 19, 2019 2:50 am

Luckyos a écrit :
mar. févr. 19, 2019 2:13 am
J'ai pas l'impression que le théorème de Weierstrass parle de fonctions définies sur $ \mathbb R $ tout entier ;)
T'as raison! Donc, on peut juste dire que le sous espace vectoriel R[x] de C(R,R) est fermé.

Luckyos
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par Luckyos » mar. févr. 19, 2019 3:01 am

Non car sur un segment toute fonction polynomiale est bornée car continue (et donc une fonction polynomiale bornée sur un segment n'est pas nécessairement constante).

D'ailleurs pour ta démo c'est légèrement plus compliqué qu'un simple passage à la limite dans la dernière étape :
SPOILER:
On a : $ \forall n \geq N, P_n-P_N=k_n $ où $ k_n \in \mathbb R $. Donc par convergence simple (conséquence de la convergence uniforme), $ k_n \rightarrow f(x)-P_N(x) $ pour tout $ x\in \mathbb R $.
Puis par unicité de la limite, $ f = P_N + f(0)-P_N(0) $, ce qui conclut.
Edit : ah bah t'as edit, le non c'est pour est-ce que la démo marche sur un segment
Modifié en dernier par Luckyos le mar. févr. 19, 2019 3:22 am, modifié 1 fois.
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haw7ski
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par haw7ski » mar. févr. 19, 2019 3:22 am

Oui j'ai edit parce que je me suis rendu compte que c'était faux.
Et oui c'est à cette démo que j'ai pensé! Mercii

darklol
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par darklol » mar. févr. 19, 2019 10:02 am

Surtout, ça serait pas mal de souligner qu’en prépa on ne parle d’ensembles fermés ou ouverts qu’en présence d’une structure d’espace vectoriel normé. Tu connais une norme sur C(R,R)? Moi pas.

(Bon en vrai j’en connais plein mais elles sont tordues).
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haw7ski
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par haw7ski » mar. févr. 19, 2019 6:07 pm

darklol a écrit :
mar. févr. 19, 2019 10:02 am
Surtout, ça serait pas mal de souligner qu’en prépa on ne parle d’ensembles fermés ou ouverts qu’en présence d’une structure d’espace vectoriel normé. Tu connais une norme sur C(R,R)? Moi pas.

(Bon en vrai j’en connais plein mais elles sont tordues).
Bah on sait que tout ev admet une base, donc on peut dire qu'il admet au moins une norme et donc il est normé, d'où la notion de fermeture si je ne m'abuse.

789
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par 789 » mar. févr. 19, 2019 6:33 pm

haw7ski a écrit :
mar. févr. 19, 2019 6:07 pm
darklol a écrit :
mar. févr. 19, 2019 10:02 am
Surtout, ça serait pas mal de souligner qu’en prépa on ne parle d’ensembles fermés ou ouverts qu’en présence d’une structure d’espace vectoriel normé. Tu connais une norme sur C(R,R)? Moi pas.

(Bon en vrai j’en connais plein mais elles sont tordues).
Bah on sait que tout ev admet une base, donc on peut dire qu'il admet au moins une norme et donc il est normé, d'où la notion de fermeture si je ne m'abuse.
N'oublie pas qu'en dimension quelconque les normes ne sont pas équivalentes. Notamment si tu munis C(R,R) d'une norme quelconque tu n'as aucune certitude que la convergence uniforme soit équivalente à la convergence en norme.
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par darklol » mar. févr. 19, 2019 7:05 pm

Et puis une base de C(R,R), il faut aller la chercher.

Pour compléter les dires de 789, sans même s’interroger sur l’existence d’une norme quelconque, il est très facile de montrer qu’il n’existe pas de norme sur C(R,R) telle que la convergence pour cette norme soit équivalente à la convergence uniforme. Donc non, dire que « R[X] est fermé dans C(R,R) » n’a pas de sens niveau prépa.
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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par haw7ski » mar. févr. 19, 2019 10:26 pm

darklol a écrit :
mar. févr. 19, 2019 7:05 pm
Et puis une base de C(R,R), il faut aller la chercher.
Ahaha c'est vrai .
darklol a écrit :
mar. févr. 19, 2019 7:05 pm
Pour compléter les dires de 789, sans même s’interroger sur l’existence d’une norme quelconque, il est très facile de montrer qu’il n’existe pas de norme sur C(R,R) telle que la convergence pour cette norme soit équivalente à la convergence uniforme. Donc non, dire que « R[X] est fermé dans C(R,R) » n’a pas de sens niveau prépa.
Mmm oui je vois ... autant pour moi!

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Re: Théorème de Weierstrass et R[X] fermé

Message par bullquies » mar. févr. 19, 2019 11:11 pm

haw7ski a écrit :
mar. févr. 19, 2019 6:07 pm
darklol a écrit :
mar. févr. 19, 2019 10:02 am
Surtout, ça serait pas mal de souligner qu’en prépa on ne parle d’ensembles fermés ou ouverts qu’en présence d’une structure d’espace vectoriel normé. Tu connais une norme sur C(R,R)? Moi pas.

(Bon en vrai j’en connais plein mais elles sont tordues).
Bah on sait que tout ev admet une base, donc on peut dire qu'il admet au moins une norme et donc il est normé, d'où la notion de fermeture si je ne m'abuse.
on sait que tout ev admet une base
Mouais tant qu'à balancer des évidences...

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