Infinité de zéros dans [a,b]
Infinité de zéros dans [a,b]
Bonjour,
Voici un exo :
Soit f : [a,b] -> C, $ \mathscr{C}^{\infty} $, tel que f possède une infinité de zéros dans [a,b].
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que $ \forall n \in \mathbb{N}, f^{(n)}(c) = 0 $.
J'ai réussi à le montrer si f est analytique. En revanche, là, je ne sais pas comment démarrer...
Merci à vous !
Voici un exo :
Soit f : [a,b] -> C, $ \mathscr{C}^{\infty} $, tel que f possède une infinité de zéros dans [a,b].
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que $ \forall n \in \mathbb{N}, f^{(n)}(c) = 0 $.
J'ai réussi à le montrer si f est analytique. En revanche, là, je ne sais pas comment démarrer...
Merci à vous !
Re: Infinité de zéros dans [a,b]
Montrer qu'il existe xn une suite convergente vers un c dans [a,b] telle que f(xn)=0. Maintenant comment peut-on ramener le problème au niveau de la dérivée ?prepamath a écrit : ↑21 févr. 2019 00:47Bonjour,
Voici un exo :
Soit f : [a,b] -> C, $ \mathscr{C}^{\infty} $, tel que f possède une infinité de zéros dans [a,b].
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que $ \forall n \in \mathbb{N}, f^{(n)}(c) = 0 $.
J'ai réussi à le montrer si f est analytique. En revanche, là, je ne sais pas comment démarrer...
Merci à vous !
Re: Infinité de zéros dans [a,b]
Bonjour,
Si f était à valeurs dans R j’aurais dit Rolle mais là... je ne vois pas
Si f était à valeurs dans R j’aurais dit Rolle mais là... je ne vois pas
Re: Infinité de zéros dans [a,b]
Ou alors ! Taylor !
Merci beaucoup.
Merci beaucoup.
Re: Infinité de zéros dans [a,b]
Ou simplement Taylor Young ?
f(x) = f(c) + f’(c)(x-c) + o(x-c)
En xn,
0 = 0 + f’(c)(xn-c) +o(xn-c)
Avec xn suite injective de zéros, on divise et c’est gagné en faisant tendre n?
f(x) = f(c) + f’(c)(x-c) + o(x-c)
En xn,
0 = 0 + f’(c)(xn-c) +o(xn-c)
Avec xn suite injective de zéros, on divise et c’est gagné en faisant tendre n?
Re: Infinité de zéros dans [a,b]
Oui, c'est pas mal.
Après, tu peux accéder à f''(c)=0 avec Taylor Young à l'ordre 2 et ainsi de suite (une récurrence forte permet de formaliser le tout).
Après, tu peux accéder à f''(c)=0 avec Taylor Young à l'ordre 2 et ainsi de suite (une récurrence forte permet de formaliser le tout).
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Infinité de zéros dans [a,b]
Cf le deuxième message de ce fil.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève