Infinité de zéros dans [a,b]

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Infinité de zéros dans [a,b]

Message par prepamath » 21 févr. 2019 00:47

Bonjour,
Voici un exo :
Soit f : [a,b] -> C, $ \mathscr{C}^{\infty} $, tel que f possède une infinité de zéros dans [a,b].
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que $ \forall n \in \mathbb{N}, f^{(n)}(c) = 0 $.
J'ai réussi à le montrer si f est analytique. En revanche, là, je ne sais pas comment démarrer...
Merci à vous !

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par Nabuco » 21 févr. 2019 01:46

prepamath a écrit :
21 févr. 2019 00:47
Bonjour,
Voici un exo :
Soit f : [a,b] -> C, $ \mathscr{C}^{\infty} $, tel que f possède une infinité de zéros dans [a,b].
Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que $ \forall n \in \mathbb{N}, f^{(n)}(c) = 0 $.
J'ai réussi à le montrer si f est analytique. En revanche, là, je ne sais pas comment démarrer...
Merci à vous !
Montrer qu'il existe xn une suite convergente vers un c dans [a,b] telle que f(xn)=0. Maintenant comment peut-on ramener le problème au niveau de la dérivée ?

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par prepamath » 21 févr. 2019 08:35

Bonjour,
Si f était à valeurs dans R j’aurais dit Rolle mais là... je ne vois pas

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par prepamath » 21 févr. 2019 08:54

Ou alors ! Taylor !
Merci beaucoup.

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par Nabuco » 21 févr. 2019 09:14

prepamath a écrit :
21 févr. 2019 08:54
Ou alors ! Taylor !
Merci beaucoup.
Euh le Taylor qui ressemble a Rolle ne marche pas sans C... Pour se ramener à R ne suffit il pas de prendre le module de f au carré qui valant f f barre est C infini ?

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par prepamath » 21 févr. 2019 09:59

Ou simplement Taylor Young ?

f(x) = f(c) + f’(c)(x-c) + o(x-c)

En xn,

0 = 0 + f’(c)(xn-c) +o(xn-c)

Avec xn suite injective de zéros, on divise et c’est gagné en faisant tendre n?

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par Nabuco » 21 févr. 2019 11:11

prepamath a écrit :
21 févr. 2019 09:59
Ou simplement Taylor Young ?

f(x) = f(c) + f’(c)(x-c) + o(x-c)

En xn,

0 = 0 + f’(c)(xn-c) +o(xn-c)

Avec xn suite injective de zéros, on divise et c’est gagné en faisant tendre n?
Oui ok ça marche et ça se passe facilement aux ordres supérieurs

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par JeanN » 21 févr. 2019 11:19

Oui, c'est pas mal.
Après, tu peux accéder à f''(c)=0 avec Taylor Young à l'ordre 2 et ainsi de suite (une récurrence forte permet de formaliser le tout).
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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par haw7ski » 26 mars 2019 17:32

prepamath a écrit :
21 févr. 2019 09:59
Avec xn suite injective de zéros, on divise et c’est gagné en faisant tendre n?
Pourquoi une telle suite converge?

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Re: Infinité de zéros dans [a,b]

Message par JeanN » 26 mars 2019 18:08

Cf le deuxième message de ce fil.
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