Problème sur les polynômes

[jd6]

Bonsoir,

J'ai un DM à réaliser pendant les vacances, et je bloque sur quelques questions.

Je dois démontrer la propriété suivante pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $ : $ \mathcal{H}_n : \forall f \in C^\infty(]a,+\infty[, \mathbb{R}), \forall b > a, \exists c \in ]b, b+n[, \Delta^n(f)(b)=f^{(n)}(c) $ où $ \Delta $ désigne l'opérateur de différence avant et $ a>0 $ (il est défini avant).

Pour cela, j'ai commencé par montrer $\mathcal{H}_1$ grâce à l'égalité des accroissements finis ($ (b+1)-b=1 $). Je rencontre une difficulté pour l'hérédité.
J'écris en effet que $ \Delta^{n+1}(f)(b)=\Delta^n(f)(b+1)-\Delta^n(f)(b)=f^{(n)}(c_1)-f^{(n)}(c_2) $ par HR avec $ c_1 \in ]b+1,b+1+n[ $ et $ c_2 \in ]b, b+n[ $ et je suis bloqué là.
Je souhaite montrer qu'il existe $c \in ]b,b+1+n[$ tel que $ f^{(n)}(c_1)-f^{(n)}(c_2)=f^{(n+1)}(c) $, mais l'égalité des accroissements finis ne convient pas. J'ai réfléchi à poser une fonction auxiliaire, à une disjonction de cas sur les valeurs de $ c_1 $ et $ c_2 $ mais je n'ai abouti à rien. J'ai également réfléchi à l'idée de procéder par l'absurde, mais je ne vois pas quelles initiatives prendre. Auriez-vous quelques pistes, s'il vous plait ? Je vous remercie par avance pour votre réponse !

Bien cordialement,

jd6.

[Nabuco]

C'est une bonne idée de faire une récurrence, mais il ne faut pas appliquer l'hypothèse de récurrence à f mais une fonction de f.

[Luckyos]

Quand on fait une récurrence il ne faut pas oublier que $ (n+1) $ est égal à $ n+1 $ mais aussi à $ 1+n $.

[JeanN]

Bonsoir,

J'ai un DM à réaliser pendant les vacances, et je bloque sur quelques questions.

Je dois démontrer la propriété suivante pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $ : $ \mathcal{H}_n : \forall f \in C^\infty(]a,+\infty[, \mathbb{R}), \forall b > a, \exists c \in ]b, b+n[, \Delta^n(f)(b)=f^{(n)}(c) $ où $ \Delta $ désigne l'opérateur de différence avant et $ a>0 $ (il est défini avant).

Pour cela, j'ai commencé par montrer $\mathcal{H}_1$ grâce à l'égalité des accroissements finis ($ (b+1)-b=1 $). Je rencontre une difficulté pour l'hérédité.
J'écris en effet que $ \Delta^{n+1}(f)(b)=\Delta^n(f)(b+1)-\Delta^n(f)(b)=f^{(n)}(c_1)-f^{(n)}(c_2) $ par HR avec $ c_1 \in ]b+1,b+1+n[ $ et $ c_2 \in ]b, b+n[ $ et je suis bloqué là.
Je souhaite montrer qu'il existe $c \in ]b,b+1+n[$ tel que $ f^{(n)}(c_1)-f^{(n)}(c_2)=f^{(n+1)}(c) $, mais l'égalité des accroissements finis ne convient pas. J'ai réfléchi à poser une fonction auxiliaire, à une disjonction de cas sur les valeurs de $ c_1 $ et $ c_2 $ mais je n'ai abouti à rien. J'ai également réfléchi à l'idée de procéder par l'absurde, mais je ne vois pas quelles initiatives prendre. Auriez-vous quelques pistes, s'il vous plait ? Je vous remercie par avance pour votre réponse !

Bien cordialement,

jd6.

Je connais bien cet énoncé et il met en valeur, juste avant cette question, une autre façon de calculer $ \Delta^{n+1}(f)(b) $.

[jd6]

Merci pour vos réponses ! En effet, c'est bien une autre façon de calculer $ \Delta^{n+1}(f)(b) $, que je n'avais pas suffisamment examinée, qui permet d'aboutir à la conclusion souhaitée.