Arithmétique

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Répondre
Avatar du membre
Brain
Messages : 117
Enregistré le : sam. mars 11, 2017 11:59 pm

Arithmétique

Message par Brain » sam. mars 02, 2019 11:04 pm

Bonsoir

Soit f la fonction indicatrice d'Euler.Si a et b sont premiers entre eux alors f(ab)=f(a)*f(b). Existe-t'-il une démonstration qui n'utilise pas les anneaux ?

On pose D(x)=x-Ent(x). L'exercice c'est de montrer que cette fonction est périodique c'est ce que j'ai fait en montrant qu'elle est 1-périodique.
Cependant, à dès que l'on trouve une période, mon prof de math m'a toujours dis de montrer que c'était la plus petite, notamment par l'absurde.
Deux questions, est-il vraiment nécessaire de montrer formellement que c'est la plus petite période ? Par exemple dans les exercices portant sur les périodes de fonctions trigonométriques exotiques, je vois souvent comme correction : "on remarque que f(x+pi)=f(x)..." mais jamais de "On va chercher p. f(p+x)=f(x) Pour tout x ? Quelle démarche faut-il ainsi adopter ?
Enfin, j'ai du mal à mener un raisonnement par l'absurde dans le cas de la fonction partie fractionnaire pour montrer qu'il ne peut y avoir une période plus petite. Pourriez-vous m'aider ?

Krik
Messages : 103
Enregistré le : lun. juin 22, 2015 2:11 pm

Re: Arithmétique

Message par Krik » sam. mars 02, 2019 11:16 pm

Si $ D $ admet une période $ 0<T<1 $, alors $ f(0)=f(T) $, mais si $ x \in [0,1[ $, $ f(x) =x $, donc $ T=0 $, absurde.

Luckyos
Messages : 474
Enregistré le : dim. juin 14, 2015 11:42 am
Classe : 1A

Re: Arithmétique

Message par Luckyos » dim. mars 03, 2019 12:19 am

La démonstration avec les anneaux, elle dit que $ f:x\mapsto (x_m, x_n) $ où $ x_n $ est le reste de la division euclidienne de $ x $ par $ n $ est bijective entre $ A_{mn} $ et $ A_m\times A_n $ où $ A_n $ est l'ensemble des entiers entre $ 1 $ et $ n $ premiers avec $ n $.

A toi de détailler, il faut utiliser le théorème des restes chinois à un moment.
2015 - 2016 : Terminale S-SVT Spé maths
2016 - 2018 : MPSI/MP* (Option Info) Ginette

X2018

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 5 invités