Fonction Gamma
Fonction Gamma
Salut .Peut on montrer que la fonction gamma tend vers plus l'infinie en + l'infinie sans derriver .Merci .
2018-2019 : mp*
2019-........ : X
2019-........ : X
Re: Fonction Gamma
$ {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)} $ ?
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Fonction Gamma
ça necissite de.connaitre quelle cv aux +l'infinie dans Rbar non ?
2018-2019 : mp*
2019-........ : X
2019-........ : X
Re: Fonction Gamma
Gamma est croissante et gamma de n vaut n-1!
Re: Fonction Gamma
Ca nécéssite uniquement de savoir faire une intégration par parties, et de connaître/prouver la limite $ {\displaystyle -x^{z}e^{-x}\to 0} $ lorsque $ x\to\infty $Mosalahmoh a écrit : ↑10 mars 2019 15:56ça necissite de.connaitre quelle cv aux +l'infinie dans Rbar non ?
Ca me paraît pas dramatique, comme pré-requis..
Mais, à défaut de la relation sur les réels positifs, les entiers naturels suffisent.. (qui se prouve par récurrence, et nécessite aussi de savoir faire une intégration par parties..)
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Fonction Gamma
Si on cherche quelque chose d'élémentaire, pourquoi pas :
On a, si $t\geq 2$ et $x>1$, $t^{x-1}=e^{(x-1)\ln t}\geq e^{(x-1)\ln 2}=2^{x-1}$, donc, avec Chasles et la positivité de la fonction intégrée,
$$\Gamma(x) \geq \int_2^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\geq 2^{x-1}\int_2^{+\infty}e^{-t}\,dt=2^{x-1}e^{-2}.$$
Comme $2^{x-1}=e^{(x-1)\ln 2}\to +\infty$, il vient $\lim_{x\to +\infty}\Gamma(x)=+\infty$.
On a, si $t\geq 2$ et $x>1$, $t^{x-1}=e^{(x-1)\ln t}\geq e^{(x-1)\ln 2}=2^{x-1}$, donc, avec Chasles et la positivité de la fonction intégrée,
$$\Gamma(x) \geq \int_2^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\geq 2^{x-1}\int_2^{+\infty}e^{-t}\,dt=2^{x-1}e^{-2}.$$
Comme $2^{x-1}=e^{(x-1)\ln 2}\to +\infty$, il vient $\lim_{x\to +\infty}\Gamma(x)=+\infty$.