Théorème AC-dépendant ayant une utilité concrète

[Strontium]

Je commence à comprendre ton idée. Tu penses que l'axiome du choix porte mal son nom, c'est cela ?
En tout cas, on est d'accord sur le fait que sa véracité est plus que discutable.

[Strontium]

De façon générale, je doute de l'utilité de considérer l'existence d'infinis plus que dénombrables. M'enfin ce n'est qu'une idée personnelle qui vaut ce qu'elle vaut.

[JeanN]

Je commence à comprendre ton idée. Tu penses que l'axiome du choix porte mal son nom, c'est cela ?
En tout cas, on est d'accord sur le fait que sa véracité est plus que discutable.

Se poser la question de sa véracité n'a pas grand sens en fait.

[Strontium]

Je suis d'accord. Parlons d'utilité plutôt.

[rickyy]

Oui, je le pense, aussi, discutable.

Le problème ce n'est pas de faire un choix, mais de faire le même choix tout le temps (c'est ce qui est dûre à accepter), en effet c'est comme si on avait stocker le choix or comment stocker des choix qui sont, strictement plus que dénombrable en taille.

Oui enfin, si on est en là, l'univers étant probablement fini et discret, comment stocker des choix dénombrables ?

[Strontium]

Oui, je le pense, aussi, discutable.

Le problème ce n'est pas de faire un choix, mais de faire le même choix tout le temps (c'est ce qui est dûre à accepter), en effet c'est comme si on avait stocker le choix or comment stocker des choix qui sont, strictement plus que dénombrable en taille.

Oui enfin, si on est en là, l'univers étant probablement fini et discret, comment stocker des choix dénombrables ?

Je ne suis pas sûr que l'on ait besoin de "stocker" des choix infinis dénombrables.

[rickyy]

En maths, on suppose l'éternité accessible ainsi $\mathbb N =\{0,1,2,3,4,...\}$ les trois petit points étant la marque de l'éternité pour dire que lon continue à compter ainsi sans fin.

Bien évidement. Et de mon point de vue, supposer le continu accessible n'est pas plus absurde que supposer l'éternité accessible.

[GaBuZoMeu]

Tout ça fait un peu discussion de comptoir, non ?

[rickyy]

Eh bien, pour moi l'éternité (l'infini en général) et le continu sont aussi mystérieux l'un que l'autre. Ce sont des concepts que je sais définir et manipuler, mais de là à en avoir une vraie vision c'est autre chose. Avec l'expérience, je m'en suis fait certaines représentations, mais imparfaites.

Et pour moi, le continu est observable facilement: A mon échelle, l'espace et le temps paraissent continus (vu que je ne perçoit pas le monde atomique, ni les états d'énergie quantifiés).

Mais surtout, le fait que les mathématiques étudient des objets non-constructibles ou non-humainement représentables me semble normal, vu que nos capacités de représentations sont très limitées. (Après tout, dès qu'on fait de la géométrie en dimension supérieure ou égale à 5, c'est le cas).

[MATHADOR]

L'utilité, qui plus est "pratique", n'a rien de mathématique. Une question mathématique (volontairement vague) qu'on peut raisonnablement se poser (et qu'il est sain de se poser) est si l'axiome du choix peut :
- se déduire des axiomes de ZF ;
- être contredit par les axiomes de ZF.

Quant à savoir s'il est ou non légitime de supposer l'axiome du choix, cela n'a aucun sens si on ne précise pas davantage la question. Le plus sage est d'en être conscient et d'indiquer chaque usage de ce dernier. Pour toutefois "légitimer" en un sens cet axiome, il permet quand même la construction de certains objets et même la démonstration de résultats importants, qu'il serait difficile voire impossible de construire ou de prouver sans. On peut ensuite, essayer de prouver ou reconstruire de ce qu'on a précédemment prouver ou construit sans recours à cet axiome.

Mon avis personnel est qu'il est dommage de se restreindre aux ensembles pour réellement cerner ce que suggèrent ces questions (e.g. axiome du choix interne et externe pouvant ne pas coïncider). Bien sûr, inutile de perdre du temps avec ces dernières choses en prépa.