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Arithmétique

Posté : mer. mars 13, 2019 12:12 am
par prepamath
Bonjour,
Je suis face à l'xo suivant :
Montrer que : $$ (_{n}^{2n}) | \prod_{p..premier} p^{\left \lfloor \frac{ln(2n)}{ln(2p)} \right \rfloor} $$
Mais je n'obtiens pas le bon résultat. J'avais pensé à compter le "nombre d'apparition du facteur p" dans le coeff binomial.
J'ai procédé ainsi : J'ai écrit le coefficient binomial en factorielle. et compter la puissance p maximale dans n!.
Il y a p^k <= n pour k <= la partie entière de ln(n)/ln(p)
Puis il y a (p-1) entiers au plus divisibles par p^k pour un tel k.
D'où le p apparaît au plus à la puissance :
$$ \sum_{i=1}^{\frac{ln(n))}{ln(p)}}i(p-1) $$
Mais je n'aboutis pas

Re: Arithmétique

Posté : mer. mars 13, 2019 1:06 pm
par JeanN
Es-tu familier de la formule de Legendre ?
Quel est le contexte de cette question (pas si facile...) ?

Re: Arithmétique

Posté : mer. mars 13, 2019 1:14 pm
par prepamath
Bonjour,
Je ne connais pas ce résultat et ceci est un énoncé d’oral fourni par mon prof de Mp (sans autre information)

Re: Arithmétique

Posté : mer. mars 13, 2019 1:31 pm
par JeanN
Bon, le principe d'un oral étant de discuter des pistes avec le candidat, je suppose que l'interrogateur te demanderait de démontrer la formule de Legendre dans un premier temps (cf wiki pour l'énoncé)

Re: Arithmétique

Posté : ven. mars 15, 2019 2:07 am
par prepamath
Ok merci j'ai trouvé grâce à cela.