Croissance locale du rang

[haw7ski]

Bonjour,

Je veux montrer cette propriété topo du rang :
$ \forall A\in M_{n}(K) $ $ \exists r>0 \left \| M-A \right \|<r\rightarrow $ $ rg(M)\geq rg(A) $

D'abord, j'ai dit que si r=rang(A) alors il existe une matrice P inversible extraite de A d'ordre $ \leq $ r, de déterminant non nul. Il existe alors un voisinage de A où det(A) est non nul, de sorte que pour toutes les matrices qui appartiennent à ce voisinage on peut en extraire des matrices inversibles de rang supérieur à r. Enfin,c 'est l'idée que j'ai élaborée mais jsuis pas sûr du raisonnement ... surtout que pour rédiger tout ça ... ouf! Si quelqu'un peut m'éclairer je suis prenant !
Merci

[Luckyos]

Ton idée est bien même s'il y a quelques coquilles :
Puisque A est de rang supérieur ou égal à r, il existe une matrice inversible d'ordre r extraite de A par théorème.
Aussi, l'application f qui à une matrice associe la matrice extraite de cette même façon est continue car linéaire en dimension finie.
Ensuite, det(f) est non nulle en A (caractérisation de l'inversibilité par le déterminant) donc il existe une boule ouverte centrée en A sur laquelle elle ne s'annule pas car elle est continue (composée de fonctions continues).
Pour M dans cette boule, f(M) est une matrice extraite de M inversible d'ordre r, M est alors de rang supérieur ou égal à r par théorème.

[haw7ski]

Pour M dans cette boule, f(M) est une matrice extraite de M inversible d'ordre r, M est alors de rang supérieur ou égal à r par théorème.

Oui, parfait !

[electronlibre]

Bonsoir,
Pourquoi f est-elle linéaire?

[JeanN]

Bonsoir,
Pourquoi f est-elle linéaire?

Parce qu'elle vérifie l'axiome de la linéarité. Essaye de le vérifier pour voir.

[Kindred]

Comment f est-il défini au juste en temps que fonction ?
Je trouve ça plutôt obscur ?
N'y-a t-il pas plusieurs "choix" possibles de f(M) aussi ?

[Luckyos]

Comment f est-il défini au juste en temps que fonction ?
Je trouve ça plutôt obscur ?
N'y-a t-il pas plusieurs "choix" possibles de f(M) aussi ?

Il suffit de fixer une matrice extraite inversible d'ordre r. Donc on fixe une manière d'extraire en prenant r lignes et r colonnes et f(M) est extraite en sélectionnant les mêmes lignes et les mêmes colonnes.

[Kindred]

Ah oui je n'avais pas vu ça comme ça directement, suis-je bête XD