Théorème de Brouwer "simplifié""

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 04 déc. 2018 22:07

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par haw7ski » 23 mars 2019 12:55

Bonjour,

Est-ce qu'il y a une méthode plus simple pour montrer que si $ f:E\rightarrow E $ est $ k- $contractante où E est un compact alors elle admet au moins un point fixe ? Sans passer par la complétude et les suites de Cauchy..
Merci

Messages : 0

Inscription : 10 août 2015 16:24

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par Landstockman » 23 mars 2019 13:37

Dans le cas où E est inclus dans un espace de Banach, tu peux masquer la complétude en utilisant l'implication $ \sum |v_n| $ converge entraîne $ \sum v_n $ converge, à appliquer sur $ v_n=u_{n+1}-u_n $ avec $ u_{n+1}=f(u_n) $. ça a le mérite de fonctionner dans le cas où $ E $ est un compact d'un ev de dim fini, mais il me semble que ce n'est pas ce que tu veux.

PS: Ce n'est pas le point fixe de Brouwer, mais celui de Picard

Messages : 0

Inscription : 04 déc. 2018 22:07

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par haw7ski » 23 mars 2019 14:32

Dattier a écrit :
23 mars 2019 13:18
Si $E$ compact, tu peux utiliser Bolzano-W (plus fort que la complétude) en remarquant que $f^{i}(E)$ est un compact et $f^{i+1}(E) \subset f^{i}(E)$

$\delta(K)$ est le diamètre de $K$ sous compact de $E$, on a $\delta(f(K))\leq k \times \delta(K)$

Alors on a que $H=\bigcap \limits_{i \in \mathbb N} f^{i}(E)=\{x_o\}$ le point fixe, car $H$ non vide (le montrer avec B-W) et $\delta(H)=0$
Oui, sympa comme démonstration!! Mais je crois que la notion du diamètre est HP ...

Messages : 44

Inscription : 31 août 2004 08:52

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par Laotseu » 23 mars 2019 14:35

Salut. Tu peux regarder le point de E qui minimise la distance ||f(x)-x||. Ca devrait le faire...
Vous feriez mieux de bosser au lieu d'être sur internet...

Messages : 0

Inscription : 04 déc. 2018 22:07

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par haw7ski » 23 mars 2019 14:59

Landstockman a écrit :
23 mars 2019 13:37
Dans le cas où E est inclus dans un espace de Banach, tu peux masquer la complétude en utilisant l'implication $ \sum |v_n| $ converge entraîne $ \sum v_n $ converge, à appliquer sur $ v_n=u_{n+1}-u_n $ avec $ u_{n+1}=f(u_n) $. ça a le mérite de fonctionner dans le cas où $ E $ est un compact d'un ev de dim fini, mais il me semble que ce n'est pas ce que tu veux.

PS: Ce n'est pas le point fixe de Brouwer, mais celui de Picard
Mmm oui mais dans ce cas, la compacité ne sert à rien si ? On se plonge dans un espace de Banach qui vérifie la propriété que t'as citée. Mais dans le cas où E est de dimension finie, cela marche ( que ça soit compact ou non ) puisqu'on avait besoin que de $ \sum \left \| x_{n+1}-x_n \right \| $ implique $ (x_n) $ converge vers le point fixe.

Messages : 0

Inscription : 14 juin 2015 11:42

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par Luckyos » 23 mars 2019 15:50

La compacité implique la complétude, et la complétude suffit (convergence absolue implique convergence).
Donc E evn de dimension finie suffit en effet.

On a quand même une preuve très rapide avec la compacité, comme l'a dit Laotseu (assez immédiat en utilisant que f est contractante pour x et f(x), x étant le point où le minimum est atteint).
D'ailleurs cette preuve fonctionne toujours si on a seulement d(f(x),f(y))<d(x,y) pour tout x différent de y (ce qui n'implique pas que f est contractante, f(x)=1/(x+1) sur [0,1] est un contre-exemple).
X2018

Messages : 0

Inscription : 04 déc. 2018 22:07

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par haw7ski » 23 mars 2019 16:36

Luckyos a écrit :
23 mars 2019 15:50
D'ailleurs cette preuve fonctionne toujours si on a seulement d(f(x),f(y))<d(x,y) pour tout x différent de y (ce qui n'implique pas que f est contractante, f(x)=1/(x+1) sur [0,1] est un contre-exemple).
Et il me semble que si E est juste complet, alors avec cette propriété il n' y a pas de point fixe. ( suffit de prendre $ f(x)=1 $ si $ x<0 $ et $ f(x) = x +\frac{1}{x+1} $ sinon

Merci @Laotseu , c'est plus simple en effet.

Messages : 0

Inscription : 14 juin 2015 11:42

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Théorème de Brouwer "simplifié""

Message par Luckyos » 23 mars 2019 16:59

Pas besoin de définir la fonction sur les négatifs, ce qui est important c'est que tu peux pas avoir de compact stable par x+1/(x+1), contrairement à 1/(x+1) qui stabilise [0,1].
X2018

Répondre