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Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 1:57 am
par Luckyos
Pour la 2) du problème 1 ça a l'air assez tendu de trouver proprement si oui ou non chaque fonction polynomiale y est, d'autant que c'est la question 2 d'un sujet destiné à des lycéens.
Par "valable", les concepteurs veulent peut-être dire "en quoi le raisonnement précédent n'est plus valable ?".

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 2:00 am
par matmeca_mcf1
Nabuco a écrit :
mar. mars 26, 2019 1:13 am
Non la question 2 du pb 1.
Calculez $ u(nv(x)) $ pour $ n $ entier naturel.

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 2:09 am
par Luckyos
Édit : je vois pas comment on a autre chose que des coefficients entiers comme ça en fait :/

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 8:06 am
par rind2018
matmeca_mcf1 a écrit :
mar. mars 26, 2019 2:00 am
Nabuco a écrit :
mar. mars 26, 2019 1:13 am
Non la question 2 du pb 1.
Calculez $ u(nv(x)) $ pour $ n $ entier naturel.
Mais pour n entier naturel on obtiendra seulement des polynome a coefficient entier non?

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 4:09 pm
par Luckyos
Effectivement, mais on peut avoir 1+u(ln(a)+nv(x))=a(1+x)^n pour a >=1.
Pour a entre 0 et 1 il suffit d'écrire a=(a+1)-1.

Ensuite, tout polynôme se décompose comme combinaison linéaire des (1+x)^n. Pour le voir en TS on peut résoudre le système pour avoir x^n=somme des ai(1+x)^i en égalisant les coefficients.

En mettant ensemble les coefficients (de la décomposition précédente) de même signe, on peut l'écrire comme différence de deux sommes de polynômes de type a(1+x)^n où a est positif.

On a bien tous les polynômes positifs.

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 5:36 pm
par Siméon
Plus simplement, on montre que la propriété (P6) découle des autres en remarquant que $f\times g = u\circ (v\circ f + v\circ g) - (f + g)$.

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 8:30 pm
par rind2018
Merci pour vos réponses c'est assez insolite comme 2eme question.
Quelqu'un peut il me dire ce qu'on doit faire a la 3c de la partie 3 du probleme 2
Je ne voyais pas comment utiliser la question d'avant donc j'ai fait sans.

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 8:56 pm
par Inversion
Je pense que le "en déduire" ne portait pas sur la question qui la précédait juste mais plutôt sur la question 3)a) et l'hypothèse de récurrence.

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 9:29 pm
par Luckyos
rind2018 a écrit :
mar. mars 26, 2019 8:30 pm
Quelqu'un peut il me dire ce qu'on doit faire a la 3c de la partie 3 du probleme 2
Je ne voyais pas comment utiliser la question d'avant donc j'ai fait sans.
On a $ x_n>x_{n-1} $ et ce sont des entiers, donc $ x_n-1\geq x_{n-1} $ puis grâce à 3.b), $ q\geq x_n-1\geq x_{n-1} $.
Donc d'après $ H_{n-1} $ appliquée à $ x_1,x_2,...,x_{n-1} $ et $ q $, tu as $ q+1\leq v_n $ et $ x_1...x_{n-1}(q+1)\leq v_1...v_n $.
Puisque $ x_n\leq q+1 $ d'après 3.b), alors $ x_1...x_{n-1}x_n\leq x_1...x_{n-1}(q+1)\leq v_1...v_n $.

Re: Le concours géneral de math

Posté : mar. mars 26, 2019 10:51 pm
par rind2018
Luckyos a écrit :
mar. mars 26, 2019 9:29 pm
rind2018 a écrit :
mar. mars 26, 2019 8:30 pm
Quelqu'un peut il me dire ce qu'on doit faire a la 3c de la partie 3 du probleme 2
Je ne voyais pas comment utiliser la question d'avant donc j'ai fait sans.
On a $ x_n>x_{n-1} $ et ce sont des entiers, donc $ x_n-1\geq x_{n-1} $ puis grâce à 3.b), $ q\geq x_n-1\geq x_{n-1} $.
Donc d'après $ H_{n-1} $ appliquée à $ x_1,x_2,...,x_{n-1} $ et $ q $, tu as $ q+1\leq v_n $ et $ x_1...x_{n-1}(q+1)\leq v_1...v_n $.
Puisque $ x_n\leq q+1 $ d'après 3.b), alors $ x_1...x_{n-1}x_n\leq x_1...x_{n-1}(q+1)\leq v_1...v_n $.
Effectivement je n'avais pas vu ca comme ca

Re: Le concours géneral de math

Posté : lun. avr. 15, 2019 2:04 pm
par osvaldo
Bonjour
Pour ma part je coince sur la fin du problème 2 : question 5.b (qui n'a pas l'air difficile pourtant) et question 6.
Jusque là je m'en étais sorti, mais je n'ai pas trop aimé cette partie avec beaucoup d'inégalités à démontrer : difficile d'avoir du recul et de comprendre vraiment pourquoi ça marche...
Bref si quelqu'un a une solution pour ces 2 questions je lui en serai très reconnaissant !
Merci d'avance