exercice algèbre

[FlorianDX]

Bonjour, j'ai une question concernant la question 2)b) de cet exercice car j'ai traité cette question mais malheureusement le résultat est faux. Pouvez-vous me dire ce qui ne va pas dans ce que j'ai fait et qui explique que mon résultat est faux svp?


lien énoncé: https://goopics.net/i/m9eOV

liens réponse que je propose pour la question 2)b): https://goopics.net/i/Vxr5y

https://goopics.net/i/a2rRG


Merci d'avance pour votre réponse

[Nabuco]

C (f) c est un sous espace vectoriel de L (E) pas de E

[FlorianDX]

Merci

[FlorianDX]

Et j'ai une autre question concernant cet exercice, concernant la question 4)a), car j'ai traité cette question mais malheureusement le résultat est faux. Pouvez-vous me dire ce qui ne va pas dans ce que j'ai fait et qui explique que mon résultat est faux svp?


liens réponse que je propose pour la question 4)a): https://goopics.net/i/xEkN4

[JeanN]

Ta demo de p plus grand que n ne tient pas la route.
Ici tu vas devoir montrer que la famille est aussi génératrice de E.

[FlorianDX]

D'accord merci.
Mais je voudrais savoir, car il y a trois choses qui me paraissent bizarre dans le corrigé:

1) en haut de la somme là où j'ai entouré en rouge, il y a une erreur, ce n'est pas "p-1", mais "p" plutôt ?

2) Un peu plus bas, comme je l'ai noté en rouge, quand il est dit " Donc (a, f(a), ... , f^p (a) ) génératrice.", d'accord que cette famille est génératrice, car ce qu'on montre à la ligne précédente est la définition même d'une famille génératrice, mais le problème est que comme l'a fait remarquer JeanN, "Ici on vas devoir montrer que la famille est aussi génératrice de E.".
Or ici on peut donc voir que la famille (a, f(a), ... , f^p (a) ) est génératrice, mais qu'est-ce qui nous permet de dire qu'elle est génératrice "de E" en particulier ?

3) C'est ce que j'ai indiqué en rouge tout en bas à gauche dans le lien de la correction dans ce message, pourquoi traite-t-on le cas p=no ? Est-ce indispensable ? Si oui, pourquoi ? Car le fait d'avoir traité précédemment les cas "no<=p-1" et "p-1<no" ne suffit pas à résoudre la question ?

lien correction: https://goopics.net/i/rdDym

[JeanN]

Cette correction est essentiellement illisible. D'où vient-elle ?

[FlorianDX]

Pardon excusez-moi, c'est la correction que j'avais pris en cours et que j'avais dû noter vite pour que le professeur n'efface pas.
J'ai modifier le lien de mon message précédent, cette fois-ci la correction sera plus lisible.

[Luckyos]

C'est bien $ p-1 $ car le terme de la somme pour $ j=p $ est nul (c'est écrit juste au-dessus et il y a même une phrase reliant les deux lignes, tu aurais pu trouver tout seul quand même).

La fin de la correction n'a pas de sens à partir de la ligne où ça parle de famille génératrice, une famille est génératrice de quelque chose, et pas génératrice tout court.

Notons $ F=Vect(a,...,f^{p-1}(a)) $. On veut montrer que $ F=E $ (car on veut montrer que la famille est génératrice de $ E $).
Or, $ E=Vect(a,...,f^{n_0}(a)) $. Donc il suffit de montrer que $ a\in F, f(a)\in F,..., f^{n_0}(a)\in F $.

Dans ta correction, c'est fait jusqu'à $ f^p(a) $, il reste à le faire pour les suivants :
Si $ p=n_0 $, on a fini. Sinon, on montre que $ f^{p+1}(a)\in F $ (je te laisse essayer en écrivant $ f^{p+1}(a)=f(f^p(a)) $ et en utilisant que $ f^p(a)\in F $).
Si $ p+1=n_0 $, c'est fini, sinon on continue jusqu'à atteindre $ n_0 $.

[FlorianDX]

D'accord merci, mais dans ce cas il y a un autre problème dans ce corrigé que j'ai indiqué en rouge en bas à droite dans le lien ci-dessous: car en effet, quand il est dit ce que j'ai entouré en rouge, c'est-à-dire "avec (α0, ..., αp-1) ≠ (0,...,0)", pourquoi on pourrait avoir ça? Car ce n'est pas possible, on ne pourrait en aucun cas avoir ça puisque la famille (a, f(a), ..., f^(p-1) (a)) est libre et que donc par définition cela signifie qu'on a : Pour tout i de [| 0; p-1|] , αi = 0 ?

lien : https://goopics.net/i/nGqlX