Critère de convergence absolue ( série )

[oty20]

Suppose $$\sum |a_{k}|=+\infty$$ ,
on pose $$S_{n}=\sum_{k=0}^{n} |a_{k}|$$ , sans perdre de généralité on suppose S_0 > 0,(sinon on prend b_n nulle jusqu'au rang p ou S_p >0) ,$$b_{n}=\frac{sign(a_{n})}{S_{n}}$$

$$\sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}= \sum_{k=0}^{n} \frac{|a_{k}|}{S_{k}}$$ .....

[prepamath]

Merci à vous !

[Nabuco]

Suppose $$\sum |a_{k}|=+\infty$$ ,
on pose $$S_{n}=\sum_{k=0}^{n} |a_{k}|$$ , sans perdre de généralité on suppose S_0 > 0,(sinon on prend b_n nulle jusqu'au rang p ou S_p >0) ,$$b_{n}=\frac{sign(a_{n})}{S_{n}}$$

$$\sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}= \sum_{k=0}^{n} \frac{|a_{k}|}{S_{k}}$$ .....

Voilà typiquement ce qui me semble un peu à éviter.
Objectivement le choix est un peu parachuté, si on n a pas fait l exo classique avant sur la divergence de la série cela sort véritablement de nulle part...

[JeanN]

Pas tant que ça :
En gros, l'énoncé demande de montrer que si a_n est le TG positif d'une série divergente, alors il existe x_n=o(a_n) qui est aussi le TG positif d'une série divergente.
On peut commencer par le cas a_n=1/n, constater que 1/(n*ln(n)) convient, se rappeler que ln(n) est équivalent aux sommes partielles de a_n et tenter une généralisation...

[Nabuco]

Pas tant que ça :
En gros, l'énoncé demande de montrer que si a_n est le TG positif d'une série divergente, alors il existe x_n=o(a_n) qui est aussi le TG positif d'une série divergente.
On peut commencer par le cas a_n=1/n, constater que 1/(n*ln(n)) convient, se rappeler que ln(n) est équivalent aux sommes partielles de a_n et tenter une généralisation...

Pourquoi pas mais même là l'idée est un peu alambiquée, mais c'est clairement beaucoup mieux que de poser directement la suite bn en question

Bonjour,

Objectivement le choix est un peu parachuté...

Je n'ai pas le souvenir d'une seule justification de maths qui n'utilise pas un parachutage, le tout s'est d'essayer de le comprendre et le généraliser, d'ailleurs ce qui fait que l'on bloque sur une justification c'est que l'on connait pas le parachute utiliser.

PS : ce qui peut donner l'impression de non parachutage c'est le fait que le parachute utilisé est bien connu, mais cela n'empêche que bien connue ou non cela reste du parachutage.

Bonne journée.

Toutes les justifications de choses assez simple ne nécessite pas un parachutage, le cours de prépa objectivement est assez bien fait dans le sens ou pas mal de résultat tombent naturellement. Parachutage en tout cas à mon sens s'apparente à introduire qqch qui ne s'avère pas naturel au premier abord, dans une bonne partie des démos de prépas les outils sont naturels car introduits donc j'ai du mal à saisir le message (et cela reste vrai sur des cours de plus haut niveau).

[Nabuco]

Je suis bien d accord cela ne contredit pas à priori mon propos, beaucoup de choses sont très naturelles dans les cours de prépa (l extraction successive ne l étant pas la première fois)

Aussi je décriraI beaucoup plus l extraction successive comme une technique qu une véritable astuce c est un outil nécessaire de façon recurrente tandis que là dans le exercice poser bn de la sorte est quelque chose d assez inédit, de peu utilisé.

[Nabuco]

Aussi je décriraI beaucoup plus l extraction successive comme une technique qu une véritable astuce c est un outil nécessaire de façon recurrente tandis que là dans le exercice poser bn de la sorte est quelque chose d assez inédit, de peu utilisé.

Prends l'astuce utilisée pour prouver l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on la voit une fois pour la justification, puis elle n'est que trés peu remobilisée.

Et donc ? Ok y a des parachutages ça et là dans le cours mais je ne vois tjrs pas où tu veux en venir

[Nabuco]

La somme des limites est la limite de la somme
Continuité implique continuité séquentielle
Je peux en trouver pas mal d autres mais là je détaille deux démonstrations qui découlent juste des définitions.

Aussi il y a un point sur lequel je ne suis pas d accord c est que naturel n est pas à opposer à parachutage. Parachutage c est vraiment l utilisation d un objet peu naturel au premier abord qui n a pas specialement une quelconque utilité hors de la démonstration elle même, non pas m opposé de naturel au sens commun.

[matmeca_mcf1]

Prends l'astuce utilisée pour prouver l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on la voit une fois pour la justification, puis elle n'est que trés peu remobilisée.

Vous parlez de l'utilisation du discriminant d''un certain binôme pour prouver l'inégalité de Cauchy-Schwarz. On n'a pas besoin de cette astuce pour prouver Cauchy-Schwartz. On peut prouver Cauchy-Schwarz de manière bien plus naturelle, uniquement à partir de l'inégalité $ 2 ab\leq a^2+b^2 $.